Question

如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，直角三角尺的一條直角邊始終經過點D，且直角頂點E在AB邊上滑動（點E不與點A、B重合），另一條直角邊與BC相交于點Q。設AE的長為xcm，BQ的長為ycm。    
（1）求y與x之間的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；    
（2）E點滑動到何處，BQ最長？最長是多少？    
（3）在（2）的情況下，猜想：以DO為直徑的⊙O與AB的位置關系，并說明你的猜想。

Answer 1

解：（1）∵ ABCD是正方形，∴∠A=∠ABC =90°     
∵∠DEQ =90°∴∠AED+ ∠QEB =90°
∵∠ADE + ∠AED =90°  ∴ ∠ADE = ∠BEQ
 ∴△ADE ∽ △BEQ   
∴    即
（2）y= -(x²-4x)= -(x-2)²+1
∵a= -<0，∴函數有最大值，當x =2時，y最大值=1
∴當AE=2（BE =2或E是AB中點）時，BQ有最大值，最大值是1
（3）⊙O與AB相切

證明：連結DQ、QE（如圖2）
∵ DQ為⊙O直徑，∠DEQ =90°
∴OE=DQ   ∵E為AB中點
∴OE為梯形ABQD的中位線
∴OE//AD   ∴AD ⊥ AB  ∴OE⊥AB 
∴⊙O與AB相切