Question

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持AM和MN垂直，  
(1)證明：Rt△ABM∽R(shí)t△MCN；
(2)設(shè)BM =x，梯形ABCN的面積為y求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到什么位     置時(shí)，四邊形ABCN的面積最大，并求出最大面積； 
 (3)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)Rt△ABM∽R(shí)t△AMN，求此時(shí)x的值

Answer 1

解：(1)在正方形ABCD中，AB ＝BC＝ CD ＝4，∠B= ∠C =90°，   
∵AM⊥MN
∴∠AMN= 90°.   
 ∴∠CMN＋∠AMB= 90°．  
  在Rt△ABM中，∠MAB＋∠AMB＝90°，
 ∴∠CMN＝∠MAB．   
∴Rt△AMN∽R(shí)t△MCN;   
 (2)∵Rt△ABM∽R(shí)t△MCN，
∴
∴
∴
∴

當(dāng)x=2時(shí)，y取最大值，最大值為10；故當(dāng)點(diǎn)肘運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為10；    
(3)∵∠B＝∠AMN= 90°，
∴要使Rt△ABM∽R(shí)t△AMN，必須
有
由（1）知
∴BM=MC
∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，Rt△ABM∽R(shí)t△AMN，此時(shí)x=2