Question

如圖，Rt△AB ¢C ¢ 是由Rt△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到的，連結(jié)CC ¢ 交斜邊于點E，CC ¢的延長線交BB ¢于點F．

（1）證明：△ACE∽△FBE；

（2）設(shè)∠ABC=，∠CAC ¢ =，試探索、滿足什么關(guān)系時，△ACE與△FBE是全等三角形，并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：∵Rt△AB ¢C ¢是由Rt△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到的，

        ∴AC=AC ¢，AB=AB ¢，∠CAB=∠C ¢AB ¢    

        ∴∠CAC ¢=∠BAB ¢

∴∠ACC ¢=∠ABB ¢   

又∠AEC=∠FEB

∴△ACE∽△FBE      

    

       （2）解：當(dāng)時，△ACE≌△FBE．    

        在△ACC¢中，∵AC=AC ¢，

        ∴   

        在Rt△ABC中，

        ∠ACC¢+∠BCE=90°，即，

        ∴∠BCE=．

        ∵∠ABC=，

        ∴∠ABC=∠BCE     

        ∴CE=BE

        由（1）知：△ACE∽△FBE，

        ∴△ACE≌△FBE．

     

【解析】（1）欲證△ACE∽△FBE，通過觀察發(fā)現(xiàn)兩個三角形已經(jīng)具備一組角對應(yīng)相等，即∠AEC=∠FEB，此時，再證∠ACC′=∠ABB′即可．

（2）欲證△ACE≌△FBE，由（1）知△ACE∽△FBE，只需證明CE=BE，由已知可證∠ABC=∠BCE=α，即證β=2α?xí)r，△ACE≌△FBE．