Question

（2012•鎮(zhèn)江二模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，AC平分∠DAB．
（1）求證：AD⊥DC；
（2）若AD=

5

，DC=2，求sin∠CAB的值以及AB的長．

Answer 1

分析：（1）連接OC．利用等腰△AOC的兩個底角相等證得∠CAO=∠OCA．然后角平分線的性質(zhì)推知∠DAC=∠CAO，則內(nèi)錯角∠DAC=∠OCA，所以AD∥OC；最后由切線的性質(zhì)證得結(jié)論；
（2）連接BC．在直角△ADC中利用勾股定理求得AC=3．然后通過相似三角形△ADC∽△ACB的對應(yīng)邊成比例求得AB=

9 5

5

；由角平分線線的性質(zhì)知∠DAC=∠CAO，則sin∠CAB=sln∠DAC=

DC

AC

=

2

3

．

解答：（1）證明：連接OC．
∵OC=OA，
∴∠CAO=∠OCA．
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴AD∥OC．
又∵直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，
∴∠OCD=90°，
∴∠ADC=90°，即AD⊥DC；

（2）解：連接BC．
由（1）知，∠ADC=90°，
∴根據(jù)勾股定理知，AC=

AD2+CD2

=3．
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=90°．
又∵∠DAC=∠CAO，
∴△ADC∽△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，即

5

3

=

3

AB

．
∴AB=

9

5

5

，
∴sin∠CAB=sln∠DAC=

DC

AC

=

2

3

．

點(diǎn)評：本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．