Question

【題目】如圖1，點P是線段AB上的動點（P不與A、B重合），分別以AP、BP為邊向線段AB的同側作等邊△APC和等邊△BPD，AD和BC交于點M．
（1）求證：AD=BC；
（2）將點P在線段AB上隨意固定，再把△BPD按順時針方向繞點P旋轉一個角度α（α＜60°），如圖2所示，在旋轉過程中，∠AMC的度數是否與α的大小有關？證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

∵△APC和△BPD是等邊三角形，

∴CP=AP，DP=PB，∠APC=∠DPB=60°，

∵∠BPC=180°﹣60°，∠DPA=180°﹣60°，

∴∠BPC=∠DPA，

在△BPC和△DPA中，

，

∴△BPC≌△DPA，

∴AD=BC

（2）解：∠AMC的度數與α的大小無關，理由如下：

如圖2，∵∠BPC=∠CPD+60°，∠DPA=∠CPD+60°，

∴∠BPC=∠DPA，

在△BPC和△DPA中，

，

∴△BPC≌△DPA，

∴∠BCP=∠DAP，

∴∠AMC=180°﹣∠MCP﹣∠PCA﹣∠MAC

=120°﹣∠BCP﹣∠MAC

=120°﹣（∠DAP+∠MAC）

=120°﹣∠PAC

=60°，

∴∠AMC的度數與α無關．

【解析】（1）只要證明△BPC≌△DPA即可．（2）先證明△BPC≌△DPA得到∠BCP=∠DAP，求出∠AMC的大小即可解決問題．
【考點精析】通過靈活運用等邊三角形的性質，掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°即可以解答此題．