Question

【題目】對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)M＞0，對于任意的函數(shù)值y，都滿足﹣M≤y≤M，則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值．例如，如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1．

（1）分別判斷函數(shù) y=（x＞0）和y=x+1（﹣4≤x≤2）是不是有界函數(shù)？若是有界函數(shù)，求其邊界值；

（2）若函數(shù)y=﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的邊界值是2，且這個函數(shù)的最大值也是2，求b的取值范圍；

（3）將函數(shù) y=x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的圖象向下平移m個單位，得到的函數(shù)的邊界值是t，當(dāng)m在什么范圍時，滿足≤t≤1？

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)y=（x＞0）不是有界函數(shù)．y=x+1（﹣4≤x≤2）是有界函數(shù)．邊界值為：2+1=3；

（2）﹣1＜b≤3；

（3）0≤m≤或≤m≤1．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)有界函數(shù)的定義和函數(shù)的邊界值的定義進(jìn)行答題；

（2）根據(jù)函數(shù)的增減性、邊界值確定a=﹣1；然后由“函數(shù)的最大值也是2”來求b的取值范圍；

（3）需要分類討論：m＜1和m≥1兩種情況．由函數(shù)解析式得到該函數(shù)圖象過點(diǎn)（﹣1，1）、（0，0），根據(jù)平移的性質(zhì)得到這兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)分別是（﹣1，1﹣m）、（0，﹣m）；最后由函數(shù)邊界值的定義列出不等式≤1﹣m≤1或﹣1≤﹣m≤﹣，易求m取值范圍：0≤m≤或≤m≤1．

解：（1）根據(jù)有界函數(shù)的定義知，函數(shù)y=（x＞0）不是有界函數(shù)．

y=x+1（﹣4≤x≤2）是有界函數(shù)．邊界值為：2+1=3；

（2）∵函數(shù)y=﹣x+1的圖象是y隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x=a時，y=﹣a+1=2，則a=﹣1

當(dāng)x=b時，y=﹣b+1．則，

∴﹣1＜b≤3；

（3）若m＞1，函數(shù)向下平移m個單位后，x=0時，函數(shù)值小于﹣1，此時函數(shù)的邊界t＞1，與題意不符，故m≤1．

當(dāng)x=﹣1時，y=1 即過點(diǎn)（﹣1，1）

當(dāng)x=0時，y最小=0，即過點(diǎn)（0，0），

都向下平移m個單位，則

（﹣1，1﹣m）、（0，﹣m）

≤1﹣m≤1或﹣1≤﹣m≤﹣，

∴0≤m≤或≤m≤1．