Question

【題目】

如圖，大海中有A和B兩個島嶼，為測量它們之間的距離，在海岸線PQ上點(diǎn)E處測得∠AEP＝74°，∠BEQ＝30°；在點(diǎn)F處測得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，EF＝1km．

（1）判斷AB、AE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）求兩個島嶼A和B之間的距離（結(jié)果精確到0.1km）．

（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，sin74°≈，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）

Answer 1

【答案】

（1）相等

（2）3.6

【解析】（1）相等，

證明：∵∠BEQ＝30°，∠BFQ＝60°，∴∠EBF＝30°，∴EF＝BF．

又∵∠AFP＝60°，∴∠BFA＝60°．

在△AEF與△ABF中，EF＝BF，∠AFE＝∠AFB，AF＝AF，∴△AEF≌△ABF，∴AB＝AE．

（2）法一：作AH⊥PQ，垂足為H，設(shè)AE＝x，

則AH＝xsin74°，HE＝xcos74°，HF＝xcos74°＋1．

Rt△AHF中，AH＝HF·tan60°，∴xcos74°＝(xcos74°＋1)·tan60°，即0.96x＝(0.28x＋1)×1.73，

∴x≈3.6，即AB≈3.6 km．答：略．

法二：設(shè)AF與BE的交點(diǎn)為G，在Rt△EGF中，∵EF＝1，∴EG＝．

在Rt△AEG中，∠AEG＝76°，AE＝EG÷cos76°＝÷0.24≈3.6．