Question

【題目】如果拋物線C1的頂點在拋物線C2上，同時，拋物線C2的頂點在拋物線C1上，那么，我們稱拋物線C1與拋物線C2互相依存．

（1）已知拋物線①：y=﹣2x2+4x+3與拋物線②：y=2x2+4x﹣1，請判斷拋物線①與拋物線②是否互相依存，并說明理由．

（2）將拋物線C1：y=﹣2x2+4x+3沿x軸翻折，再向右平移m（m＞0）個單位，得到拋物線C2，若拋物線C1與C2互相依存，求m的值．

（3）試問：如果對稱軸不同的兩條拋物線（二次函數(shù)圖象）互相依存，那么它們的函數(shù)表達式中的二次項系數(shù)之間有什么數(shù)量關系？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線①與拋物線②相互依存（2） （3）0

【解析】

（1）根據(jù)兩拋物線的關聯(lián)依次判斷即可；
（2）根據(jù)兩拋物線關聯(lián)的定義直接列式得出結論；
（3）設互相依存的一條拋物線為y1=a1（x﹣m1）2+n1

另一條拋物線為y2=a2（x﹣m2）2+n2，分別代入頂點，兩式相加.

（1）由拋物線①知，y=﹣2x2+4x+3=﹣2（x﹣1）2+5，頂點坐標為（1，5），

把x=1代入拋物線②：y=2x2+4x﹣1，得y=5，

∴拋物線①的頂點在拋物線②上，

又由拋物線②知，y=2（x+1）2﹣3，頂點坐標為（﹣1，﹣3），

把x=﹣1代入拋物線①中，得，y=﹣3，

∴拋物線②的頂點在拋物線①上，

∴拋物線①與拋物線②相互依存．

（2）由拋物線①：y=﹣2（x﹣1）2+5，沿x軸翻折后為y=2（x﹣1）2﹣5，

設平移后的拋物線解析式為y=2（x﹣1﹣m）2﹣5，

把x=1，y=5代入得2（1﹣1﹣m）2﹣5=5，

∴m=±；

∵m＞0，

∴m=，

∴當m= 時，得到拋物線C2：y=2（x﹣1﹣）2﹣5，頂點為（1+，﹣5），

把x=1+代入拋物線C1，得y=﹣5，

∴m=；

（3）它們的二次項系數(shù)互為相反數(shù)，理由如下：

設互相依存的一條拋物線為y1=a1（x﹣m1）2+n1，頂點為（m1，n1）

另一條拋物線為y2=a2（x﹣m2）2+n2，頂點為（m2，n2），其中m1≠m2，

∴把（m2，n2）代入y1，得n2=a1（m2﹣m1）2+n1，①

把（m1，n1）代入y2，得n1=a2（m1﹣m2）2+n2②

由①+②得，a1（m2﹣m1）2+a2（m1﹣m2）2=0

∵m1≠m2，

∴a1+a2=0．