Question

如圖1，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連結(jié)AC，若
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖2所示，連結(jié)，是線段上（不與、重合）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)作直線，交拋物線于點(diǎn)，連結(jié)、，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．當(dāng)t為何值時(shí)，的面積最大？最大面積為多少？

Answer 1

(1) y=x²-3x+2；；（2）（，）或（，）；（3）t=1時(shí)，S_△BCN的最大值為1.

解析試題分析：（1）已知了C點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到OC的長(zhǎng)，根據(jù)∠OAC的正切值即可求出OA的長(zhǎng)，由此可得到A點(diǎn)的坐標(biāo)，將A、C的坐標(biāo)代入拋物線中，即可確定該二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)拋物線的解析式即可確定其對(duì)稱軸方程，由此可得到點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若∠APC=90°，則∠PAE和∠CPD是同角的余角，因此兩角相等，則它們的正切值也相等，由此可求出線段PE的長(zhǎng)，即可得到點(diǎn)P點(diǎn)的坐標(biāo)；（用相似三角形求解亦可）
（3）根據(jù)B、C的坐標(biāo)易求得直線BC的解析式，已知了點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，根據(jù)直線BC和拋物線的解析式，即可用t表示出M、N的縱坐標(biāo)，由此可求得MN的長(zhǎng)，以MN為底，B點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為高，即可求出△BNC的面積（或者理解為△BNC的面積是△CMN和△MNB的面積和），由此可得到關(guān)于S（△BNC的面積）、t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求得S的最大值及對(duì)應(yīng)的t的值．
試題解析：（1）∵拋物線y=x²+bx+c過點(diǎn)C（0，2），
∴c=2；
又∵tan∠OAC==2，
∴OA=1，即A（1，0）；
又∵點(diǎn)A在拋物線y=x²+bx+2上，
∴0=1²+b×1+2，b=-3；
∴拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為y=x²-3x+2；
（2）存在.
過點(diǎn)C作對(duì)稱軸l的垂線，垂足為D，如圖所示，

∴x=-；
∴AE=OE-OA=，
∵∠APC=90°，
∴tan∠PAE=tan∠CPD，
∴，即，
解得PE=或PE=，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）．
（3）如圖所示，易得直線BC的解析式為：y=-x+2，

∵點(diǎn)M是直線l′和線段BC的交點(diǎn)，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，-t+2）（0＜t＜2），
∴MN=-t+2-（t²-3t+2）=-t²+2t，
∴S_△BCN=S_△MNC+S_△MNB=MN·t+MN·（2-t），
=MN·（t+2-t）=MN=-t²+2t（0＜t＜2），
∴S_△BCN=-t²+2t=-（t-1）²+1，
∴當(dāng)t=1時(shí)，S_△BCN的最大值為1．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．