【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC,ACB=90°,將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<90°),得到△A1B1C,連接BB1,設CB1ABD,A1B1分別交AB,ACE,F(xiàn)

(1)求證:△CBD≌△CA1F;

(2)試用含α的代數(shù)式表示∠B1BD;

(3)α等于多少度時,△BB1D是等腰三角形.

【答案】(1)證明見解析;(2)∠B1BD=45°﹣;(3)當△BB1D為等腰三角形時,α=30°.

【解析】

(1)根據(jù)已知條件,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定方法,來判定三角形全等;
(2)利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CBA=45°.然后由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推知BC=B1C,則∠CB1B=CBB1,所以根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進行解答即可;
(3)當BBD是等腰三角形時,要分別討論B1B=B1D、BB1=BD、B1D=DB三種情況,第一,三種情況不成立,只有第二種情況成立,求得α=30°.

(1)證明:∵AC=BC,

∴∠A=ABC.

∵△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)角α(0°<α<90°)得到A1B1C,

∴∠A1A,A1C=AC,ACA1BCB1=α.

∴∠A1CBD,A1C=BC.

CBDCA1F中,

,

∴△CBD≌△CA1F(ASA).

(2)∵在ABC中,AC=BC,ACB=90°,

∴∠CAB=CBA=45°.

又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BC=B1C,則∠CB1B=CBB1,

∴∠CB1B=CBB1=90°﹣

∴∠B1BD=CBB1CBA=90°﹣﹣45°=45°﹣;

(3)在CBB1中,∵CB=CB1

∴∠CBB1CB1B=(180°﹣α).

又∵△ABC是等腰直角三角形,

∴∠ABC=45°.

①若B1B=B1D,則∠B1DB=B1BD,

∵∠B1DB=45°+α,B1BD=CBB1﹣45°=(180°﹣α)﹣45°=45°﹣

45°+α=45°﹣,

α=0°(舍去);

②∵∠BB1C=B1BC>B1BD,

BD>B1D,即BD≠B1D;

③若BB1=BD,則∠BDB1BB1D,即45°+α=(180°﹣α),α=30°

由①②③可知,當BB1D為等腰三角形時,α=30°.

練習冊系列答案
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1

2

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11

12

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120

100


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C.
D.

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