(2005•馬尾區(qū))如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形ABCO的面積為15,邊OA比OC大2.E為BC的中點(diǎn),以O(shè)E為直徑的⊙O′交x軸于D點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F.
(1)求OA、OC的長(zhǎng);
(2)求證:DF為⊙O′的切線;
(3)小明在解答本題時(shí),發(fā)現(xiàn)△AOE是等腰三角形.由此,他斷定:“直線BC上一定存在除點(diǎn)E以外的點(diǎn)P,使△AOP也是等腰三角形,且點(diǎn)P一定在⊙O′外”.你同意他的看法嗎?請(qǐng)充分說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)在矩形OABC中,利用邊長(zhǎng)之間的關(guān)系和面積公式即可求得OC,OA的長(zhǎng);
(2)連接O′D,通過(guò)證明△OCE≌△ABE得到DF⊥O′D,所以DF為⊙O′切線;
(3)分兩種情況進(jìn)行分析:①當(dāng)AO=AP;②當(dāng)OA=OP,從而得到在直線BC上,除了E點(diǎn)外,既存在⊙O′內(nèi)的點(diǎn)P,又存在⊙O′外的點(diǎn)P2、P3、P4,它們分別使△AOP為等腰三角形.
解答:(1)解:在矩形OABC中,設(shè)OC=x,則OA=x+2
∴x(x+2)=15
∴x1=3,x2=-5
∵x2=-5(不合題意,舍去)
∴OC=3,OA=5;

(2)證明:連接O′D;
∵在矩形OABC中,,
∴△0CE≌△ABE(SAS),
∴EA=EO,
∴∠1=∠2;
∵在⊙O′中,O′O=O′D,
∴∠1=∠3,
∴∠3=∠2,
∴O′D∥AE;
∵DF⊥AE,
∴DF⊥O′D,
∵點(diǎn)D在⊙O′上,O′D為⊙O′的半徑,
∴DF為⊙O′切線;

(3)解:不同意.理由如下:
①當(dāng)A0=AP時(shí),以點(diǎn)A為圓心,以AO為半徑畫弧交BC于P1和P4兩點(diǎn)
過(guò)P1點(diǎn)作P1H⊥OA于點(diǎn)H,P1H=0C=3;
∵APl=OA=5,
∴AH=4,
∴OH=l,
求得點(diǎn)P1(1,3)同理可得:P4(9,3)(7分);
②當(dāng)OA=OP時(shí),
同上可求得P2(4,3),P3(-4,3),(9分)
∴在直線BC上,除了E點(diǎn)外,既存在⊙O′內(nèi)的點(diǎn)P,又存在⊙O′外的點(diǎn)P2、P3、P4,它們分別使△AOP為等腰三角形.(10分)
點(diǎn)評(píng):主要考查了矩形的性質(zhì)和圓中的有關(guān)性質(zhì),等腰三角形的判定以及一元二次方程在幾何圖形中的運(yùn)用.要熟練掌握這些性質(zhì)才能靈活運(yùn)用.
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(2)分別求出表示小明、小亮的路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式.
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