Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)M（-l，0）為圓心的圓與y軸，x軸分別交于點(diǎn)A、B、C、D，直線y=-

3

3

x-

5

3

3

與⊙M相切于點(diǎn)H，交x軸于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F．
（1）求⊙M的半徑；

（2）如圖，弦HQ交x軸于點(diǎn)P，且PD：PH=4：

7

，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖，點(diǎn)K為線段EC上一動點(diǎn)（不與E、C重合），連接BK交⊙M于點(diǎn)G，連接AG．過點(diǎn)M作MN⊥x軸交BK于N．是否存在這樣的點(diǎn)K，使得AG=MK？若存在，請求出GN的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由直線y=-

3

3

x-

5

3

3

可知，E（-5，0）、F（0，-

5 3

3

）
∴OE=5，OF=

5 3

3

，
∵M(jìn)點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，0），
∴EM=OE-OM=5-1=4，
∴EF=

(-5)2+( 5 3 3 )2

=

10 3

3

=2OF，
∴∠OEF=30°，
∴HM=

1

2

EM=

1

2

×4=2，
即⊙M的半徑為2；

（2）作HT⊥OC于T，連接CH、MH，由（1）知△CMH為正三角形，
∴CT=1，TH=

3

．設(shè)PD=4x，PH=

7

x．
∵TH²+TP²=PH²，
∴3+（3-4x）²=7x²，
∴x₁=2（舍），x₂=

2

3

；
∴PM=PD-MD=4×

2

3

-2=

2

3

；
又∵M(jìn)（-1，0），
∴P的橫坐標(biāo)為-1-

2

3

=-

5

3

，
故P（-

5

3

，0）．

（3）假設(shè)存在，則有AG=MK．作直徑AR交BK于S，連接GR．
則△AGR≌△KMN，
∴GR=MN．則△GRS≌△MNS，于是GN=MR=2．