Question

如圖．AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，∠COD=∠DOB=60°，延長AB至E，使BE=AB，連接CE、DE，CE與OD交于點F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，求sin∠AEC和OF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證DE是⊙O的切線，只需證明OD⊥DE即可；
（2）連接AC構(gòu)建等邊三角形ACO．過點C作CG⊥AE于點G，構(gòu)建直角△CGE．通過平行線的判定與平行線解線段成比例求得OF=AC；在直角△CGE中求sin∠AEC的值．
解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴OA=OB=OD=AB．
在△ODE中，BE=AB，
∴OE=OB+BE=AB=2OD，
∴∠DEO=30°．
又∵∠DOB=60°，
∴∠ODE=180°-∠DOE-∠DEO=90°，即OD⊥DE，
又點D在圓O上，
∴DE是⊙O的切線；

（2）連接AC．
∵∠COD=∠DOB=60°，
∴∠ACO=60°．
又∵OA=OC，
∴等腰△ACO的等邊三角形，
∴∠A=∠COD=60°，
∴AC∥OF，
∴=．
又BE=AB，AC=OA（等邊三角形的三條邊相等），⊙O的半徑為2，
∴OF=OA=；
過點C作CG⊥AE于點G．則CG=，OG=1，GE=5，
在直角△CGE中，由勾股定理求得CE=2，
則sin∠AEC===．
點評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)，解直角三角形．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．