如圖1，已知∠EOF，點B、C在射線OF上，四邊形ABCD是平行四邊形，AC、BD相交于點M，連接OM．
（1）當OM⊥AC時，求證：OA=OC．
（2）如圖2，當∠EOF=45°時，且四邊形ABCD是邊長為a的正方形時，求OM的長．（結果保留根號）
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（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AM=CM，
∵OM⊥AC，
∴OM是AC的垂直平分線，
∴OA=OC；

（2）過M作MG⊥OF于G，
∵四邊形ABCD是邊長為a的正方形，
∴AD∥BC，∠DBC=45°，
∵∠EOF=45°，
∴∠AOB=∠EOF，
∴AO∥DB，
∴四邊形AOBD是平行四邊形，
∴AD=OB=a，
∵OG=a，
∵BC=a，
∴MG=a，
∴OM==a．
分析：（1）若要證明OA=OC，則可轉化為證明OM是AC的垂直平分線即可；
（2）過M作MG⊥OF于G，首先證明四邊形AOBD是平行四邊形，得到AD=OB，再利用等腰直角三角形的性質得到BG和MG的長，進而利用勾股定理即可求出OM的長．
點評：本題考查了垂直平分線的性質、正方形的性質、平行四邊形的判定和性質以及勾股定理的運用，題目的綜合性很強，難度中等．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖1，已知正方形ABCD中，對角線AC、BD交于O點，過O點作OE⊥OF分別交DC于E，交BC于F，∠FEC的角平分線EP交直線AC于P．
（1）①求證：OE=OF；
②寫出線段EF、PC、BC之間的一個等量關系式，并證明你的結論；
（2）如圖2，當∠EOF繞O點逆時針旋轉一個角度，使E、F分別在CD、BC的延長線上，請完成圖形并判斷（1）中的結論①、②是否分別成立？若不成立，寫出相應的結論（所寫結論均不必證明）．
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•貴陽模擬）如圖1，已知∠EOF，點B、C在射線OF上，四邊形ABCD是平行四邊形，AC、BD相交于點M，連接OM．
（1）當OM⊥AC時，求證：OA=OC．
（2）如圖2，當∠EOF=45°時，且四邊形ABCD是邊長為a的正方形時，求OM的長．（結果保留根號）

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（1）如圖1，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，連接AE、BF．求證：AE=BF；
（2）為響應市人民政府“形象勝于生命”的號召，在甲建筑物上從A點到E點掛一長為30m的宣傳條幅（如圖2），在乙建筑物的頂部D點測得頂端A點的仰角為45°，測得條幅底端E點的俯角為30°，求底部不能直接到達的兩建筑物之間的水平距離（答案可帶根號）．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（1）如圖1，已知∠EOF=120°，OM平分∠EOF，A是OM上一點，∠BAC=60°，且與OF、OE分別相交于點B、C，則有AB=AC；
（2）如圖2，在如上的（1）中，當∠BAC繞點A逆時針旋轉使得點B落在OF的反向延長線上時，（1）中的結論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由；
（3）如圖3，已知∠AOC=∠BOC=∠BAC=60°，求證：①△ABC是等邊三角形； ②OC=OA+OB．

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