Question

【題目】某數(shù)學(xué)興趣小組對線段上的動點問題進(jìn)行探究，已知AB=8．
問題思考：
如圖1，點P為線段AB上的一個動點，分別以AP、BP為邊在同側(cè)作正方形APDC、BPEF．

（1）當(dāng)點P運動時，這兩個正方形的面積之和是定值嗎？若是，請求出；若不是，請求出這兩個正方形面積之和的最小值．
（2）分別連接AD、DF、AF，AF交DP于點K，當(dāng)點P運動時，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在兩個面積始終相等的三角形？請說明理由．
問題拓展：
（3）如圖2，以AB為邊作正方形ABCD，動點P、Q在正方形ABCD的邊上運動，且PQ=8．若點P從點A出發(fā)，沿A→B→C→D的線路，向點D運動，求點P從A到D的運動過程中，PQ的中點O所經(jīng)過的路徑的長．

（4）如圖3，在“問題思考”中，若點M、N是線段AB上的兩點，且AM=BN=1，點G、H分別是邊CD、EF的中點，請直接寫出點P從M到N的運動過程中，GH的中點O所經(jīng)過的路徑的長及OM+OB的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)點P運動時，這兩個正方形的面積之和不是定值．

設(shè)AP=x，則PB=8﹣x，

根據(jù)題意得這兩個正方形面積之和=x2+（8﹣x）2

=2x2﹣16x+64

=2（x﹣4）2+32，

所以當(dāng)x=4時，這兩個正方形面積之和有最小值，最小值為32．

（2）

解：存在兩個面積始終相等的三角形，它們是△APK與△DFK．

依題意畫出圖形，如答圖2所示．

設(shè)AP=a，則PB=BF=8﹣a．

∵PE∥BF，

∴ ，即 ，

∴PK= ，

∴DK=PD﹣PK=a﹣ = ，

∴S△APK= PKPA= a= ，S△DFK= DKEF= （8﹣a）= ，

∴S△APK=S△DFK．

（3）

解：當(dāng)點P從點A出發(fā)，沿A→B→C→D的線路，向點D運動時，不妨設(shè)點Q在DA邊上，

若點P在點A，點Q在點D，此時PQ的中點O即為DA邊的中點；

若點Q在DA邊上，且不在點D，則點P在AB上，且不在點A．

此時在Rt△APQ中，O為PQ的中點，所以AO= PQ=4．

所以點O在以A為圓心，半徑為4，圓心角為90°的圓弧上．

PQ的中點O所經(jīng)過的路徑是三段半徑為4，圓心角為90°的圓弧，如答圖3所示：

所以PQ的中點O所經(jīng)過的路徑的長為： ×2π×4=6π．

（4）

解：點O所經(jīng)過的路徑長為3，OM+OB的最小值為 ．

如答圖4﹣1，分別過點G、O、H作AB的垂線，垂足分別為點R、S、T，則四邊形GRTH為梯形．

∵點O為中點，

∴OS= （GR+HT）= （AP+PB）=4，即OS為定值．

∴點O的運動路徑在與AB距離為4的平行線上．

∵M(jìn)N=6，點P在線段MN上運動，且點O為GH中點，

∴點O的運動路徑為線段XY，XY= MN=3，XY∥AB且平行線之間距離為，點X與點A、點Y與點B之間的水平距離均為2.5．

如答圖4﹣2，作點M關(guān)于直線XY的對稱點M′，連接BM′，與XY交于點O．

由軸對稱性質(zhì)可知，此時OM+OB=BM′最�。�

在Rt△BMM′中，MM′=2×4=8，BM=7，由勾股定理得：BM′= = ．

∴OM+OB的最小值為 ．

【解析】（1）設(shè)AP=x，則PB=8﹣x，根據(jù)正方形的面積公式得到這兩個正方形面積之和=x2+（8﹣x）2 ， 配方得到2（x﹣4）2+32，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解．（2）根據(jù)PE∥BF求得PK= ，進(jìn)而求得DK=PD﹣PK=a﹣ = ，然后根據(jù)面積公式即可求得．（3）本問涉及點的運動軌跡．PQ的中點O所經(jīng)過的路徑是三段半徑為4，圓心角為90°的圓弧，如答圖3所示；（4）本問涉及點的運動軌跡．GH中點O的運動路徑是與AB平行且距離為3的線段XY上，如答圖4﹣1所示；然后利用軸對稱的性質(zhì)，求出OM+OB的最小值，如答圖4﹣2所示．
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．