Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在線段BC上任取一點E，連接DE，作EF⊥DE，交直線AB于點F．
（1）若點F與B重合，求CE的長；
（2）若點F在線段AB上，且AF=CE，求CE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：當F和B重合時，

∵EF⊥DE，

∵DE⊥BC，

∵∠B=90°，

∴AB⊥BC，

∴AB∥DE，

∵AD∥BC，

∴四邊形ABED是平行四邊形，

∴AD=EF=9，

∴CE=BC﹣EF=12﹣9=3

（2）解：過D作DM⊥BC于M，

∵∠B=90°，

∴AB⊥BC，

∴DM∥AB，

∵AD∥BC，

∴四邊形ABMD是矩形，

∴AD=BM=9，AB=DM=7，CM=12﹣9=3，

設(shè)AF=CE=a，則BF=7﹣a，EM=a﹣3，BE=12﹣a，

∵∠FEC=∠B=∠DMB=90°，

∴∠FEB+∠DEM=90°，∠BFE+∠FEB=90°，

∴∠BFE=∠DEM，

∵∠B=∠DME，

∴△FBE∽△EMD，

∴ = ，

∴ = ，

a=5，a=17，

∵點F在線段AB上，AB=7，

∴AF=CE=17（舍去），

即CE=5．

【解析】（1）根據(jù)題意畫出圖形，得出矩形ABEC求出BE，即可求出CE；（2）過D作DM⊥BC于M，得出四邊形ABMD是矩形，推出AD=BM=9，AB=DM=7，CM=12﹣9=3，設(shè)AF=CE=a，則BF=7﹣a，EM=a﹣3，BE=12﹣a，求出∠BFE=∠DEM，∠B=∠DME，證△FBE∽△EMD，得出比例式 = ，求出a即可．
【考點精析】本題主要考查了梯形的定義和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形是梯形．兩腰相等的梯形是等腰梯形；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．