精英家教網(wǎng)如圖,圓內(nèi)接四邊形ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,AC=2,則四邊形ABCD的面積為(  )
A、4
B、2
C、
2
D、
3
分析:連接BD,在AC上取CE=CD,連接DE,作AF⊥BC,交BC延長線于F,作AG⊥DC,交CD于G,先證明△ABD是等邊三角形,再證明△CDE同樣是等邊三角形,可得BC+CD=AC=2,在構(gòu)造的直角三角形中利用三角函數(shù)分別求出△ABC和△ACD的高,根據(jù)四邊形ABCD的面積=S△ABC+S△ACD即可求解.
解答:精英家教網(wǎng)解:連接BD,
∵∠BAD=60°,AB=AD,
∴△ABD是等邊三角形.
在AC上取CE=CD,連接DE,
∵∠ECD=∠ABD=60°,
∴△CDE同樣是等邊三角形,
∴CE=CD=DE,BD=AD,∠ADE=∠ADB-∠EDB,∠BDC=∠EDC-∠EDB,
∴∠ADE=∠BDC,
∴△ADE≌△BDC,
∴AE=BC,
∴BC+CD=AC=2
作AF⊥BC,交BC延長線于F,作AG⊥DC,交CD于G,
∠ACB=∠ADB=60°(同弧圓周角相等)
AF=ACsin60°=
3
2
×2=
3

同理,AG=ACsin60°=
3

四邊形ABCD的面積=S△ABC+S△ACD=
1
2
BC•AF+
1
2
AG•CD=
1
2
×
3
(BC+CD)=
3
2
AC=
3

故選D.
點(diǎn)評:本題難度比較大,其中涉及了多步輔助線的作法.分析題意正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.其中在AC上取CE=CD,連接DE,構(gòu)造等邊三角形是個(gè)難點(diǎn).求出BC+CD=AC=2是求四邊形面積的關(guān)鍵步驟.
練習(xí)冊系列答案
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11、如圖,圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC,BD把四邊形的四個(gè)內(nèi)角分成八個(gè)角,這八個(gè)角中相等的角的對數(shù)至少有( 。

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15、如圖,圓內(nèi)接四邊形ABCD的BA,CD的延長線交于P,AC,BD交于E,則圖中相似三角形有( 。

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2、已知:如圖,圓內(nèi)接四邊形ABCD中,∠BAD=65°,則∠BCD=
115
度.

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精英家教網(wǎng)已知:如圖,圓內(nèi)接四邊形ABCD,過C點(diǎn)作對角線BD的平行線交AD的延長線于E點(diǎn).
求證:DE•AB=BC•CD.

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