【題目】如圖所示，第1個正方形的邊是第1個等腰直角三角形的斜邊，第1個等腰直角三角形的直角邊是第2個正方形的邊，第2個正方形的邊是第2個等腰三角形的斜邊…依此不斷連接下去，設第1個正方形的邊長為2，求：

（1）第2個正方形的邊長a2，面積S2；

（2）第3個及第4個正方形的面積S3，S4；

（3）通過觀察研究，寫出第2003個正方形的面積S2003．

【答案】（1）第2個正方形的邊長為a2 =，面積S2=2；

（2）S4=

（3）面積S2003=4（）4004=

【解析】

試題分析：設第1個正方形的邊長a1=2，然后根據(jù)等腰直角三角形的直角邊等于斜邊的倍依次求出第2、3、4個正方形的邊長，然后根據(jù)變化規(guī)律寫出第2003個正方形的邊長，面積即可．

解：第1個正方形的邊長a1=2，

（1）根據(jù)題意得，第2個正方形的邊長為a2=a1=，面積S2=（）2=2；

（2）第3個正方形的邊長為a3=a2=（a1）=（）2a1=1，面積S3=1；

第4個正方形的邊長為a4=a3=（）2a1=（）3a1，=，面積S4=

…，

（3）第2003個正方形的邊長a2003=（）2002a1，

∵a1=2，

∴a2003=2（）2002．面積S2003=4（）4004=

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