Question

已知在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=2PD，PC=2PB，∠ADP=∠PCD，PD=PC=4，如圖1．
（1）求證：PD∥BC；
（2）若點Q在線段PB上運動，與點P不重合，連接CQ并延長交DP的延長線于點O，如圖2，設(shè)PQ=x，DO=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；
（3）若點M在線段PA上運動，與點P不重合，連接CM交DP于點N，當△PNM是等腰三角形時，求PM的值．

Answer 1

（1）證明：∵AB∥DC，
∴∠CPB=∠PCD，
∵∠ADP=∠PCD，
∴∠ADP=∠CPB，
∵AD=2PD，PC=2PB，
∴，
∴△ADP∽△CPB，
∴∠APD=∠B，
∴PD∥BC；

（2）解：∵AB∥DC，PD∥BC，
∴四邊形PBCD是平行四邊形，
∴PD=BC，
∵PD=PC=4，
∴BC=4，
∵PC=2PB，
∴PB=2，
∵OD∥BC，
∴，
∵PQ=x，DO=y，
∴PO=y-4，QB=2-x，
∴，
∴，
定義域是：0＜x＜2；

（3）解：①當PM=PN時，
∵PM∥DC，
∴，
∴DC=DN；
由（2）知：PD=4，DC=2，
∴PM=PN=PD-DN=2，
②當MP=MN時，
∵△ADP∽△CPB，PC=BC=4，
易得：AP=AD=2PD=8，
易證：MN∥AD，
即：四邊形AMCD是平行四邊形，
∴DC=AM=2，
∴PM=AP-AM=6．
（注：當NM=NP時不存在）
綜上所述：PM的值為2或6．
分析：（1）由AB∥DC與AD=2PD，PC=2PB，根據(jù)由兩邊對應(yīng)邊成比例，且夾角相等，易得△ADP∽△CPB，即可得到∠APD=∠B，則得到PD∥BC；
（2）易得四邊形PBCD是平行四邊形，則可得PB的長，又由OD∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，利用方程思想，即可求得y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）分別從①當PM=PN時，②當MP=MN時分析，由相似三角形的性質(zhì)，即可求得結(jié)果．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的判定與性質(zhì)等．此題圖形變化比較多，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．此題難度較大，解題時需仔細分析．