Question

對關(guān)于x的一次函數(shù)和二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）．
（1）當(dāng)c＜0時，求函數(shù)s=-2|ax²+bx+c|+2013的最大值；
（2）若直線和拋物線y=ax²+bx+c有且只有一個公共點，求a³+b³+c³的值．

Answer 1

解：（1）設(shè)y₁=ax²+bx+c，
∵a＞0，c＜0，
∴△=b²-4ac＞0，
∴y₁=ax²+bx+c與x軸有兩個交點，
∴|ax²+bx+c|的最小值為0，
∴y=-2|ax²+bx+c|+2013的最大值是2013．

（2）∵直線y=kx-k-k²與拋物線y=ax²+bx+c有且只有一個公共點，
∴方程組只有一組解，
∴ax²+（b-k）x+k²+k+c=0有相等的實數(shù)解，
∴△=0，
∴（1-a）k²-2（2a+b）k+b²-4ac=0
∵對于k為任何實數(shù)，上式恒成立，
∴，
∴a=1，b=-2，c=1，
∴a³+b³+c³=1-8+1=-6．
分析：（1）首先設(shè)y₁=ax²+bx+c，由a＞0，c＜0，可得△＞0，即可得|ax²+bx+c|≥0，繼而求得函數(shù)y=-2|ax²+bx+c|+2013的最大值；
（2）由直線y=kx-k-k²與拋物線y=ax²+bx+c有且只有一個公共點，可得ax²+（b-k）x+k²+k+c=0有相等的實數(shù)解，可得判別式△=0，又由不論k為任何實數(shù)，直線y=kx-k-k²與拋物線y=ax²+bx+c有且只有一個公共點，即可得方程組，繼而求得a，b，c的值，從而得到a³+b³+c³的值．
點評：此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程根的情況、判別式的知識以及方程組的解法等知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意把函數(shù)交點問題轉(zhuǎn)化成一元二次方程根的問題是解此題的關(guān)鍵．