Question

（2011•太原二模）古希臘人常用小石子在 沙灘上擺放成各種形狀來(lái)研究數(shù)．比如：
他們研究過(guò)圖1中的1、3、6、10、…，由于這些數(shù)（小石子）能夠擺成三角形，將其稱(chēng)為三角數(shù)；類(lèi)似地，稱(chēng)圖2中的1、4、9、16、…這樣的數(shù)為正方形數(shù)．請(qǐng)你分別寫(xiě)出符合下列條件的一個(gè)數(shù)（要求：所寫(xiě)數(shù)不能使圖1、圖2中已有的數(shù)）．是三角形但不是正方形數(shù)：

15

；是正方形數(shù)但不是三角形數(shù)：

25

；既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)：

1225

．

Answer 1

分析：根據(jù)圖形觀察歸納猜想出兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)通項(xiàng)公式任意寫(xiě)出一個(gè)數(shù)，符合第一個(gè)通項(xiàng)公式不符合第二個(gè)通項(xiàng)公式就是三角形的數(shù)不是正方形數(shù)，任意寫(xiě)出一個(gè)數(shù)，符合第二個(gè)通項(xiàng)公式不符合第一個(gè)通項(xiàng)公式就是正方形數(shù)不是三角形數(shù)，任意寫(xiě)出一個(gè)數(shù)，既符合第一個(gè)通項(xiàng)公式也符合第二個(gè)通項(xiàng)公式就是三角形數(shù)又是正方形數(shù)．

解答：解：∵圖1中第一個(gè)圖有1個(gè)點(diǎn)，1=

1

2

（1+1）
第二個(gè)圖有3個(gè)點(diǎn)，3=

2

2

（2+1），
第三個(gè)圖有6個(gè)點(diǎn)，6=

3

2

（3+1），
…，
∴第n個(gè)圖的點(diǎn)數(shù)是 a_n=

n

2

（n+1），
∵圖2中第一個(gè)圖有1個(gè)點(diǎn)，1=1²，
第二個(gè)圖有4個(gè)點(diǎn)，4=2²，
第三個(gè)圖有9個(gè)點(diǎn)，9=3³，
…，
∴第n個(gè)圖的點(diǎn)數(shù)是b_n=n²，
∴是三角形但不是正方形數(shù)15，是正方形數(shù)但不是三角形25，
圖1中第49個(gè)圖中的點(diǎn)數(shù)是

49

2

×（49+1）=1225，
圖2中第35個(gè)圖中的點(diǎn)數(shù)是35²=1225，
∴是三角形數(shù)又是正方形數(shù)是1225．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圖形的變化類(lèi)，解題時(shí)讓學(xué)生通過(guò)觀察、分析和歸納得出其中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．