Question

已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，在正方形ABCD外有一點(diǎn)E，滿足∠ABE=∠CBP，BE=BP．
（1）求證：△CPB≌△AEB；
（2）求證：PB⊥BE；
（3）若PA：PB=1：2，∠APB=135°，求cos∠PAE的值．

Answer 1

【答案】分析：（1），（2）根據(jù)條件∠ABE=∠CBP，BE=BP，BC=AB，可證△CBP≌△ABE，所以∠PBE=∠ABE+∠ABP=∠CBP+∠ABP=90°，即PB⊥BE．
（3）連接PE，則BE=BP，∠PBE=90°，∠BPE=45°，設(shè)AP為k，利用題中的比例式和勾股定理可求得PE=2k，AE=3k，所以cos∠PAE==．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=AB，（1分）
∵∠CBP=∠ABE，BP=BE，
∴△CBP≌△ABE．

（2）證明：∵∠CBP=∠ABE，
∴∠PBE=∠ABE+∠ABP=∠CBP+∠ABP=90°，
∴PB⊥BE．
（1）、（2）兩小題可以一起證明．
證明：∵∠CBP=∠ABE，
∴∠PBE=∠ABE+∠ABP（1分）
=∠CBP+∠ABP
=90°（2分）
∴PB⊥BE．（3分）
以B為旋轉(zhuǎn)中心，把△CBP按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°．（4分）
∵BC=AB，∠CBA=∠PBE=90°，BE=BP．（5分）
∴△CBP與△ABE重合，
∴△CBP≌△ABE．（6分）

（3）解：連接PE，
∵BE=BP，∠PBE=90°，
∴∠BPE=45°，（7分）
設(shè)AP為k，則BP=BE=2k，
∴PE²=8k²，（8分）
∴PE=2k，
∵∠BPA=135°，∠BPE=45°，
∴∠APE=90°，（9分）
∴AE=3k，
在直角△APE中：cos∠PAE==．（10分）
點(diǎn)評：主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是利用全等的性質(zhì)得到相等的角或線段，用同一個未知數(shù)表示所求的線段即可求得所求的線段的比例即三角函數(shù)值．