【題目】如圖,BE是⊙O的直徑,點(diǎn)A在EB的延長(zhǎng)線上,弦PD⊥BE,垂足為C,連接OD,
∠AOD=∠APC.
(1)求證:AP是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑是4,AP=4,求圖中陰影部分的面積.
【答案】(1)證明詳見(jiàn)解析;(2)
【解析】
(1)連接OP,證明OP⊥AP,利用等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)證明即可;(2)根據(jù)扇形POD面積減去△OPD的面積即為陰影部分的面積,求出相關(guān)數(shù)據(jù)代入計(jì)算.
(1)證明:連結(jié)OP,∵PD⊥BE,如圖.
∴∠OCD=90°,
∴∠ODC+∠COD=90°,
∵OD=OP,
∴∠ODC=∠OPC,
∵∠COD=∠APC,
∴∠OPC+∠APC=90°,
∴∠APO=90°,即AP⊥PO,
∵P在⊙O上,∴AP是⊙O的切線.
(2)在Rt△APO中,tan∠AOP=,
∴∠AOP=60°,∴∠OPC=30°,
∴OC=2,∴PC= ,
∴PD=,
∵OD=OP,OB⊥PD,
∴∠POB=∠COD=60°,
∴∠POD=120°,
∴陰影部分面積為: .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、D兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)B,四邊形OBCD是矩形,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,4),已知點(diǎn)E(m,0)是線段DO上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作PE⊥x軸交拋物線于點(diǎn)P,交BC于點(diǎn)G,交BD于點(diǎn)H.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí),請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示PG的長(zhǎng)度;
(3)在(2)的條件下,是否存在這樣的點(diǎn)P,使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與△DEH相似?若存在,求出此時(shí)m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù))上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表:
x | …… | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | …… |
y | …… | 4 | 4 | m | 0 | …… |
則下列結(jié)論中:①拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣1;②m=;③當(dāng)﹣4<x<2時(shí),y<0;④方程ax2+bx+c﹣4=0的兩根分別是x1=﹣2,x2=0,其中正確的個(gè)數(shù)有( 。
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,1),B(1,-2),C(3,-1),P(m,n)是△ABC的邊AB上一點(diǎn).
(1)畫出△A1B1C1,使△A1B1C1與△ABC關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱,并寫出點(diǎn)A、P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、P1的坐標(biāo).
(2)以原點(diǎn)O為位似中心,位似比為1:2,在y軸的左側(cè),畫出將△A1B1C1放大后的△A2B2C2,并分別寫出點(diǎn)A1、P1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2、P2的坐標(biāo).
(3)求sin∠B2A2C2的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,自變量x與函數(shù)y之間的部分對(duì)應(yīng)值如下表:
在該函數(shù)的圖象上有A(x1,y1)和B(x2,y2)兩點(diǎn),且-1<x1<0,3<x2<4,y1與y2的大小關(guān)系正確的是( )
A.y1≥y2B.y1>y2C.y1≤y2D.y1<y2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),與軸交于點(diǎn),且,頂點(diǎn)為.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的垂線,垂足為,若,四邊形的面積為,求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出的取值范圍;
(3)探索:線段上是否存在點(diǎn),使為等腰三角形?如果存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)呀理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中,△AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,
(1)將△AOB向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A1O1B1,請(qǐng)畫出△A1O1B1;
(2)以點(diǎn)A為對(duì)稱中心,請(qǐng)畫出△ AOB關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱的△ A O2 B2,并寫點(diǎn)B2的坐標(biāo);
(3)以原點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心,請(qǐng)畫出把△AOB按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的圖形△A2 O B3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系中,C(0,4),A為x軸上一動(dòng)點(diǎn),連接AC,將AC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AB,當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),OB+BC的最小值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知A(﹣4,2)、B(n,﹣4)兩點(diǎn)是一次函數(shù)y=kx+b和反比例函數(shù)y=圖象的兩個(gè)交點(diǎn).
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△AOB的面積;
(3)觀察圖象,直接寫出不等式kx+b﹣>0的解集.
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