Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，連接，，為線段上一點(diǎn)，于點(diǎn)，軸交拋物線于點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）①當(dāng)為等腰三角形時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

②求的最大值；

（3）直接寫出當(dāng)面積最大時，點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①點(diǎn)的坐標(biāo)為或；②；（3）

【解析】

（1）已知拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可得出拋物線解析式．

（2）①已知B、C點(diǎn)坐標(biāo)，求出BC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，當(dāng)時，即可求出點(diǎn)P坐標(biāo)；當(dāng)時，過點(diǎn)作．設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求出t，即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

②已知拋物線解析式，可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理可驗(yàn)證是直角三角形．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，由，可將PM和PN用t表示出來，是關(guān)于t的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求出最大值．

（3）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

證明△AMP∽△ACB，，得出，，得出關(guān)于t的一元二次方程，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，得出當(dāng)t=3時，面積有最大值，再求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1）二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，

∴

解得

∴拋物線的解析式為．

故答案為：

（2）①∵，，

∴．

當(dāng)時，．

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；

當(dāng)時，如圖①，過點(diǎn)作．設(shè)，則．

∴．解得．

此時點(diǎn)的坐標(biāo)為．

綜上，當(dāng)為等腰三角形時，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

②令，則．

解得，．

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

∴，．又，

∴是直角三角形．

∵，

∴．

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，

∴，．

∴．

∴的最大值為．

故答案為：或；

（3）如圖②，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∵PM∥BCM，∠APM=∠ABC

∴ △AMP∽△ACB

∴

∴

∴．

∵∴當(dāng)時，的最大面積是5．

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

故答案為：P