Question

如圖，P是拋物線 y₂=x²-6x+9對稱軸上的一個動點，直線x=t平行于y軸，分別與直線y=x、拋物線y₂交于點A、B．若△ABP是以點A或點B為直角頂點的等腰直角三角形，求滿足條件的t的值，則t=________．

Answer 1

4±2
分析：依題意，設(shè)A（t，t），B（t，t²-6t+9），則AB=|t-（t²-6t+9）|=|t²-7t+9|，當(dāng)△ABP是以點A為直角頂點的等腰直角三角形時，則∠PAB=90°，PA=AB=|t+1|；當(dāng)△ABP是以點B為直角頂點的等腰直角三角形時，則∠PBA=90°，PB=AB=|t+1|；分別列方程求k的值．
解答：∵直線x=t分別與直線y=x、拋物線y=x²-6x+9交于點A、B兩點，
∴A（t，t），B（t，t²-6t+9），AB=|t-（t²-6t+9）|=|t²-7t+9|，
①當(dāng)△ABP是以點A為直角頂點的等腰直角三角形時，∠PAB=90°，此時PA=AB=|t+1|，
即|t²-7t+9|=|t+1|，
∴t²-7t+9=t+1或t²-7t+9=-t-1，
解得t=4±2；
②當(dāng)△ABP是以點B為直角頂點的等腰直角三角形時，則∠PBA=90°，此時PB=AB=|t+1|，結(jié)果同上．
故答案為：4±2．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)解析式表示A、B兩點坐標(biāo)，再表示線段AB，根據(jù)題意，列方程求解．