Question

【題目】已知：∠MON=α，點(diǎn)P是∠MON角平分線上一點(diǎn)，點(diǎn)A在射線OM上，作∠APB=180°-α，交直線ON于點(diǎn)B，PC⊥ON于C.

（1）如圖1，若∠MON=90°時(shí)，求證：PA=PB；

（2）如圖2，若∠MON=60°時(shí)，寫(xiě)出線段OB，OA及BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）如圖3，若∠MON=60°時(shí)，點(diǎn)B在射線ON的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，（2）中結(jié)論還成立嗎？若不成立，直接寫(xiě)出線段OB，OA及BC之間的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）OA=OB+2BC，理由見(jiàn)解析；（3）不成立，OA=2BC-OB.

【解析】試題分析：（1）作PD⊥OM于點(diǎn)D．由角平分線的性質(zhì)得到PC=PD．再用ASA證明△APD≌△BPC，即可得到結(jié)論；．

（2）結(jié)論：OA=OB+2BC．作PD⊥OM于點(diǎn)D．同（1），可證△APD≌△BPC，得到AD=BC．

由△OPD≌△OPC，得到OC=OD，即可得到結(jié)論；

（3）不成立，OA=2BC-OB．

試題解析：解：（1）作PD⊥OM于點(diǎn)D．

∵點(diǎn)P在∠MON的角平分線上，且PC⊥ON于C，∴PC=PD．

∵∠MON=90°，∴∠APB=90°，∠CPD=90°，∴∠APD=∠BPC．

又∵∠PDA=∠PCB=90°，∴△APD≌△BPC（ASA），∴AP=BP．

（2）結(jié)論：OA=OB+2BC．理由如下：

作PD⊥OM于點(diǎn)D．同（1），可證△APD≌△BPC，∴AD=BC．

由△OPD≌△OPC，得OC=OD，∴OA-AD=OB+BC，得OA=OB+2BC．

（3）不成立，OA=2BC-OB．