Question

【題目】正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，點(diǎn)P是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形邊上的一點(diǎn)．若△PBE是等腰三角形，則腰長(zhǎng)為 ．

Answer 1

【答案】2 ，或 ，或
【解析】解：分情況討論：（1）當(dāng)PB為腰時(shí)，若P為頂點(diǎn)，則E點(diǎn)與C點(diǎn)重合，如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=∠D=90°，
∵P是AD的中點(diǎn)，
∴AP=DP=2，
根據(jù)勾股定理得：BP= = =2 ；
若B為頂點(diǎn)，則根據(jù)PB=BE′得，E′為CD中點(diǎn)，此時(shí)腰長(zhǎng)PB=2 ；（2）當(dāng)PB為底邊時(shí)，E在BP的垂直平分線上，與正方形的邊交于兩點(diǎn)，即為點(diǎn)E；①當(dāng)E在AB上時(shí)，如圖2所示：

則BM= BP= ，
∵∠BME=∠A=90°，∠MBE=∠ABP，
∴△BME∽△BAP，
∴ ，即 ，
∴BE= ；②當(dāng)E在CD上時(shí)，如圖3所示：

設(shè)CE=x，則DE=4﹣x，
根據(jù)勾股定理得：BE2=BC2+CE2 ， PE2=DP2+DE2 ，
∴42+x2=22+（4﹣x）2 ，
解得：x= ，
∴CE= ，
∴BE= = = ；
綜上所述：腰長(zhǎng)為：2 ，或 ，或 ；
故答案為：2 ，或 ，或 ．
分情況討論：（1）當(dāng)PB為腰時(shí)，若P為頂點(diǎn)，則E點(diǎn)和C點(diǎn)重合，求出PB長(zhǎng)度即可；若B為頂點(diǎn)，則E點(diǎn)為CD中點(diǎn)；（2）當(dāng)PB為底時(shí)，E在BP的垂直平分線上，與正方形的邊交于兩點(diǎn)，即為點(diǎn)E；①由題意得出BM= BP= ，證明△BME∽△BAP，得出比例式 ，即可求出BE；②設(shè)CE=x，則DE=4﹣x，根據(jù)勾股定理得出方程求出CE，再由勾股定理求出BE即可．