Question

如圖，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O(shè)為原點(diǎn)，OC、OA所在直線為軸建立坐標(biāo)系．拋物線頂點(diǎn)為A，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．點(diǎn)P在線段AO上由A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)O在線段OC上由C向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，QD⊥OC交BC于點(diǎn)D，OD所在直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)E．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)E′是E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形OEAE′是菱形？
（3）點(diǎn)P、Q分別以每秒2個(gè)單位和3個(gè)單位的速度同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，PB∥OD？

Answer 1

解：（1）∵A（0，2）為拋物線的頂點(diǎn)，∴設(shè)y=ax²+2。
∵點(diǎn)C（3，0），在拋物線上，∴9a+2=0，解得：。
∴拋物線的解析式為；。
（2）若要四邊形OEAE′是菱形，則只要AO與EE′互相垂直平分，
∴EE′經(jīng)過(guò)AO的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E縱坐標(biāo)為1，代入拋物線解析式得：，
解得：。
∵點(diǎn)E在第一象限，∴點(diǎn)E為（，1）。
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（1，2），C（3，0），代入得：，解得。
∴BC的解析式為：。
設(shè)直線EO的解析式為y=ax，將E點(diǎn)代入，可得出EO的解析式為：。
由，得：，
∴直線EO和直線BC的交點(diǎn)坐標(biāo)為：（，）。
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（，0）。
∴當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）時(shí)，四邊形OEAE′是菱形。
（3）設(shè)t為m秒時(shí)，PB∥DO，又QD∥y軸，則有∠APB=∠AOE=∠ODQ，
又∵∠BAP=∠DQO，則有△APB∽△QDO。
∴。
由題意得：AB=1，AP=2m，QO=3﹣3m，
又∵點(diǎn)D在直線y=﹣x+3上，∴DQ=3m。
∴，解得：。
經(jīng)檢驗(yàn)：是原分式方程的解。
∴當(dāng)t=秒時(shí)，PB∥OD。

（1）根據(jù)頂點(diǎn)式將A，C代入解析式求出a的值，進(jìn)而得出二次函數(shù)解析式。
（2）利用菱形的判定得出AO與EE′互相垂直平分，利用E點(diǎn)縱坐標(biāo)得出x的值，進(jìn)而得出BC，EO直線解析式，再利用兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)求法得出Q點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出答案。
（3）首先得出△APB∽△QDO，進(jìn)而得出，求出m的值，進(jìn)而得出答案。