【題目】如圖1AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),DBC延長(zhǎng)線一點(diǎn),且BC=CD,直線CE與⊙O相切于點(diǎn)C,與AD相交于點(diǎn)E

1)求證:CEAD;

2)如圖2,設(shè)BE與⊙O交于點(diǎn)F,AF的延長(zhǎng)線與CE交于點(diǎn)P

①求證:∠PCF=CBF;

②若PF=6tanPEF=,求PC的長(zhǎng).

【答案】1)證明見解析;(2)①證明見解析;②10

【解析】

1)連結(jié)OC,說明OC是△BDA的中位線,利用中位線的性質(zhì),得到∠OCE=CED=90°,從而求解;

2)①作直徑CG,連結(jié)FG,由圓周角定理求得∠G+FCG=90°,然后結(jié)合(1)求得∠OCE=PCF+FCG=90°,∠G=PCF,然后再結(jié)合同弧所對(duì)的圓周角相等,從而求解;

②連結(jié)AC,利用直徑上的圓周角,得到△PEF是直角三角形,利用角相等,可得到△PEF∽△PAE,△PCF∽△PAC,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得,然后根據(jù)三角函數(shù)及勾股定理求PC的值.

解:(1)連結(jié)OC

∵直線CE與⊙O相切于點(diǎn)C,

OCCE,即∠OCE=90°

OAOB,BC=CD

CBD的中點(diǎn),OAB的中點(diǎn),

OC是△BDA的中位線,

OCAD,

∴∠CED=OCE=90°,

CEAD

2)①作直徑CG,連結(jié)FG,

CG是直徑,點(diǎn)F在圓上,

∴∠CFG=90°,

∴∠G+FCG=90°

由(1)可知∠OCE=PCF+FCG=90°

∴∠G=PCF

又∵∠G=CBF,

∴∠PCF=CBF

②連結(jié)AC

AB是直徑,點(diǎn)F在圓上,

∴∠AFB=PFE=90°=CEA

又∵∠EPF=APE,

∴△PEF∽△PAE,

,即PE2=PF×PA

在直角△PEF中,tanPEF=,

又∵PF=6

EF8,

由勾股定理,可求得PE10

∵∠FBC=PCF=CAF,∠CPF=APC

∴△PCF∽△PAC,

,即PC2=PF×PA,

PC2=PE2,

PC=PE=10

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】定義:有一組鄰邊均和一條對(duì)角線相等的四邊形叫做鄰和四邊形.

1)如圖1,四邊形ABCD中,∠ABC70°,∠BAC40°,∠ACD=∠ADC80°,求證:四邊形ABCD是鄰和四邊形.

2)如圖2,是由50個(gè)小正三角形組成的網(wǎng)格,每個(gè)小正三角形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),已知AB,C三點(diǎn)的位置如圖,請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖中標(biāo)出所有的格點(diǎn)D,使得以AB,CD為頂點(diǎn)的四邊形為鄰和四邊形.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)xOy中,某一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的y的圖象交于A1,m)、Bn,﹣1)兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn).

1)求該一次函數(shù)的解析式;

2)求的值.

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【題目】在矩形ABCD中,點(diǎn)EBC上,AE=AD,DFAE,垂足為F

1)求證.DF=AB;

2)若∠FDC=30°,且AB=4,求AD

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【題目】對(duì)于一個(gè)函數(shù),自變量xa時(shí),函數(shù)值y也等于a,我們稱a為這個(gè)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).如果二次函數(shù)yx2+2x+c有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)x1x2,且x11x2,則c的取值范圍是( )

A. c<﹣3B. c<﹣2C. cD. c1

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【題目】疫情期間,甲廠欲購(gòu)買某種無紡布生產(chǎn)口罩,A、B兩家無紡布公司各自給出了該種無紡布的銷售方案.

A公司方案:無紡布的價(jià)格y(萬元)與其重量x(噸)是如圖所示的函數(shù)關(guān)系;

B公司方案:無紡布不超過30噸時(shí),每噸收費(fèi)2萬元;超過30噸時(shí),超過的部分每噸收費(fèi)1.9萬元.

1)求如圖所示的yx的函數(shù)解析式;(不要求寫出定義域)

2)如果甲廠所需購(gòu)買的無紡布是40噸,試通過計(jì)算說明選擇哪家公司費(fèi)用較少.

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【題目】甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)校時(shí)需要從學(xué)校大門AB、C三個(gè)入口處中的任意一處測(cè)量體溫,體溫正常方可進(jìn)校.

1)甲同學(xué)在A入口處測(cè)量體溫的概率是

2)求甲、乙兩位同學(xué)在同一入口處測(cè)量體溫的概率.(用畫樹狀圖列表的方法寫出分析過程)

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【題目】某中學(xué)藝術(shù)節(jié)期間,學(xué)校向?qū)W生征集書畫作品,楊老師從全校30個(gè)班中隨機(jī)抽取了4個(gè)班(用A,B,C,D表示),對(duì)征集到的作品的數(shù)量進(jìn)行了分析統(tǒng)計(jì),制作了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

請(qǐng)根據(jù)以上信息,回答下列問題:

(1)楊老師采用的調(diào)查方式是 (填“普查”或“抽樣調(diào)查”);

(2)請(qǐng)你將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整,并估計(jì)全校共征集多少件作品?

(3)如果全校征集的作品中有5件獲得一等獎(jiǎng),其中有3名作者是男生,2名作者是女生,現(xiàn)要在獲得一等獎(jiǎng)的作者中選取兩人參加表彰座談會(huì),請(qǐng)你用列表或樹狀圖的方法,求恰好選取的兩名學(xué)生性別相同的概率.

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②將鏡子從點(diǎn)C沿BC的延長(zhǎng)線向后移動(dòng)10米到點(diǎn)F處,小明向后移動(dòng)到點(diǎn)H處時(shí),小明的眼睛G又剛好在鏡子中看到樹的頂點(diǎn)A,這時(shí)測(cè)得小明到鏡子的距離FH3米;

③計(jì)算樹的高度AB;

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