【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=16cm,DE=4cm,線段DE(端點D從點B開始)沿BC邊以1cm/s的速度向點C運動,當端點E到達點C時停止運動,過點E作EF∥AC交AB于點F,連接DF,設運動的時間為t秒(t≥0).
(1)用含t的代數(shù)式表示線段EF的長度為 ;
(2)在運動過程中,△DEF能否為等腰三角形?若能,請求出t的值;若不能,試說明理由;
(3)若點M是線段EF的中點,請直接寫出在整個運動過程中點M運動路線的長.
【答案】(1)EF=(t+4)(cm);(2)當t=0、或秒時,△DEF為等腰三角形;(3)線段EF的中點M運動路線的長為 m
【解析】
(1)因為平行,則EF:CA=BE:BC,且BE,AC,BC邊易知,則EF可表示.
(2)運動過程中使△DEF為等腰三角形,則要考慮哪兩邊為腰,故要考慮三種情況,當DF=EF時,當DE=EF時,當DE=EF時.分別討論易根據(jù)三角形相似、邊成比例及(1)中EF的值得到關(guān)于t的方程,解得即可.
(3)求運動軌跡,首先要明白M點運動的軌跡到底是什么情況,畫圖易猜想,此軌跡為MN.而因為運動中的EF都與AC平行,故利用邊成比例可得AN=CN,故運動過程中M點都在AC邊的中線上.因為三角形各邊已知且固定,根據(jù)勾股定理,相似等易得BN、BM,則MN可求.
(1)∵BD=tcm,DE=4cm,
∴BE=BD+DE=(t+4)cm,
∵EF∥AC,
∴△BEF∽△BCA,
∴EF:CA=BE:BC,
即EF:10=(t+4):16,
解得:EF=(t+4)(cm);.
(2)分三種情況討論:
①∵當DF=EF時,
∴∠EDF=∠DEF,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵EF∥AC,
∴∠DEF=∠C,
∴∠EDF=∠B,
∴點B與點D重合,
∴t=0;
②,當DE=EF時,
則4=(t+4),
解得:t=;
③∵當DE=DF時,有∠DFE=∠DEF=∠B=∠C,
∴△DEF∽△ABC.
∴=,
即=,
解得:t=;
綜上所述,當t=0、或秒時,△DEF為等腰三角形.
(3)線段EF的中點M運動路線的長為 m.
分析如下:
如圖1,當t=0秒時,B、D重合,連接BM并延長,交AC于N,過點A作,AP⊥BC于P,過點N作NQ⊥BC于Q.
∵EF∥AC,
∴ ,
∵FM=ME,
∴AN=NC,
∴MN就是點M運動路線.
在Rt△APC中,
∵PC=BC=8cm,AC=10cm,
∴AP=6cm.
∵NQ∥AP,
∴CQ=PC=4cm.
在Rt△BNQ中,
∵NQ=AP=3cm,BQ=BC-CQ=16-4=12cm,
∴BN=3cm.
∵=,
∴=,
解得 BM=cm,
∴MN=BN-BM=cm.
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【題目】已知AB是半圓O的直徑,點C在半圓O上.
(1)如圖1,若AC=3,∠CAB=30°,求半圓O的半徑;
(2)如圖2,M是的中點,E是直徑AB上一點,AM分別交CE,BC于點F,D. 過點F作FG∥AB交邊BC于點G,若△ACE與△CEB相似,請?zhí)骄恳渣cD為圓心,GB長為半徑的⊙D與直線AC的位置關(guān)系,并說明理由.
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【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象與軸正半軸相交于A、B兩點,與軸相交于點C,對稱軸為直線且OA=OC,則下列結(jié)論:①②③④關(guān)于的方程有一個根為其中正確的結(jié)論個數(shù)有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,點I是△ABC的內(nèi)心,∠AIC=124°,點E在AD的延長線上,則∠CDE的度數(shù)為( )
A. 56° B. 62° C. 68° D. 78°
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【題目】已知一組數(shù)據(jù)a,b,c的平均數(shù)為5,方差為3,那么數(shù)據(jù)a+2,b+2,c+2的平均數(shù)、方差分別是____、____.
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【題目】點A為雙曲線(x>0)上一點,B為x軸正半軸上一點,線段AB的中點C恰好在雙曲線上,則△OAC的面積為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】自駕游是當今社會一種重要的旅游方式,五一放假期間小明一家人自駕去靈山游玩,下圖描述了小明爸爸駕駛的汽車在一段時間內(nèi)路程s(千米)與時間t(小時)的函數(shù)關(guān)系,下列說法中正確的是( )
A. 汽車在0~1小時的速度是60千米/時; B. 汽車在2~3小時的速度比0~0.5小時的速度快;
C. 汽車從0.5小時到1.5小時的速度是80千米/時; D. 汽車行駛的平均速度為60千米/時.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,⊙O的圓心A的坐標為(1,0),半徑為1,點P為直線y=x+3上的動點,過點P作⊙A的切線,且點為B,則PB的最小值是 .
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【題目】如圖,矩形ABCD的頂點A、C在平面直角坐標系的坐標軸上,AB=4,CB=3,點D與點A關(guān)于y軸對稱,點E、F分別是線段DA、AC上的動點(點E不與A、D重合),且∠CEF=∠ACB,若△EFC為等腰三角形,則點E的坐標為______.
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