Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是射線(xiàn)AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑的⊙P與射線(xiàn)AC的另一個(gè)交點(diǎn)為D，直線(xiàn)PD交直線(xiàn)BC于點(diǎn)E．

（1）若點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，則⊙P的半徑為      ；

（2）若AP=2，求CE的長(zhǎng)；

（3））當(dāng)以BE為直徑的圓和⊙P外切時(shí)，求⊙P的半徑；

（4）設(shè)線(xiàn)段BE的中點(diǎn)為Q，射線(xiàn)PQ與⊙P相交于點(diǎn)I，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，能否使點(diǎn)D、C、 I、P構(gòu)成一個(gè)平行四邊形？若能，請(qǐng)求出AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

解：（1）；(2)∵AP=DP，∴∠PAD=∠PDA．

∵∠PDA=∠CDE，∴∠PAD=∠CDE．

∵∠ACB=∠DCE=90°，∴△ABC∽△DEC．

∴∠ABC=∠DEC，．

∴PB=PE．Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5．

      ∵AP=2，∴PB=PE=3，DE=1 ∴，CE=．(3) 如圖1，設(shè)BE的中點(diǎn)為Q，連接PQ，AP=x

∵PB=PE，∴PQ⊥BE，又∵∠ACB=90°，∴PQ∥AC，

∴，∴，

∴，． 當(dāng)以BE為直徑的圓和⊙P外切時(shí)，

解得，即AP的長(zhǎng)為．

（4）如果點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，點(diǎn)E在線(xiàn)段BC延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)（如圖1），由（2）知，△ABC∽△DEC，∴,∴，DC=（5-2x）,當(dāng)DC=PI時(shí)，點(diǎn)D、C、 I、P構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，由DC=PI得，（5-2x）= x，x=．

如果點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上時(shí)（如圖2），DC=（2x -5）, 當(dāng)DC=PI時(shí)，點(diǎn)D、C、 I、P構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，由DC=PI得，（2x -5）= x，x=，∵＞5，與點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上矛盾，∴x=舍去．

如果點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上（如圖3），點(diǎn)E在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)， DC=（2x -5）, 當(dāng)DC=PI時(shí)，點(diǎn)D、C、 I、P構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，由DC=PI得，（2x -5）= x，x=．

綜上，AP=或AP=．