Question

小明手上一張扇形紙片OAB．現(xiàn)要求在紙片上截一個正方形，使它的面積盡可能大．
小明的方案是：如圖，在扇形紙片OAB內(nèi)，畫正方形CDEF，使C、D在OA上，F(xiàn)在OB上；連接OE并延長交弧AB于I，畫IH∥ED交OA于H，IJ∥OA交OB于J，再畫JG∥FC交OA于G．
（1）你認(rèn)為小明畫出的四邊形GHIJ是正方形嗎？如果是，請證明．如果不是，請說明理由．
（2）如果扇形OAB的圓心角∠AOB=30°，OA=6cm，小明截得的四邊形GHIJ面積是多少（結(jié)果精確到0.1cm）．
（3）（1）中小明畫出的四邊形GHIJ如果是正方形，我們把它叫做扇形的內(nèi)接正方形（四個頂點分別在扇形的半徑和弧上）．請你再畫出一種不同于圖（1）的扇形的內(nèi)接正方形（保留畫圖痕跡，不要求證明）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)HI∥DE，JG∥FC，JI∥GH，利用矩形的判定得出四邊形JGHI是矩形，進(jìn)而利用平行線分線段成比例定理得出即可；
（2）正方形GHIJ的邊長為x，則GH=HI=JG=x，表示出GO=

3

x，HO=x+

3

x，再利用勾股定理(

3

x+x)2+x 2=36求出即可；
（3）畫一個使正方形一邊平行于AB的一個正方形即可．

解答：（1）答：是．
證明：∵在扇形紙片OAB內(nèi)，畫正方形CDEF，IH∥ED交OA于H，
IJ∥OA交OB于J，JG∥FC交OA于G，
∴HI∥DE，JG∥FC，JI∥GH，
∴∠JGH=∠IHG=∠JIH=90°，
∴四邊形JGHI是矩形，
∵HI∥DE，JG∥FC，JI∥GH，
∴

EO

IO

=

FE

JI

，

EO

IO

=

DE

HI

，
∴

FE

JI

=

DE

HI

，
∵FE=DE，
∴JI=HI，
∴矩形JGHI是正方形，

（2）解：設(shè)正方形GHIJ的邊長為x，則GH=HI=JG=x，
∵∠AOB=30°，OA=6cm，
在直角三角形△OGJ，∠GOJ=30°，
∴GO=

3

x，
∴HO=x+

3

x，
∴(

3

x+x)2+x 2=36，
x²=

36×(5-2 3 )

13

≈4.3，
所以正方形GHIJ的面積是4.3cm²．

（3）解：如圖：

點評：此題主要考查了正方形的判定以及勾股定理的應(yīng)用和作一個正方形等知識，靈活應(yīng)用正方形的性質(zhì)以及得出HI，IO，HO的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．