Question

【題目】如圖，已知AB＝10，以AB為直徑作半圓O，半徑OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OC，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)停止．連接BC并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使得CD＝BC，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連接AD，AC．

（1）AD＝　 　；

（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時(shí)，判斷△ABD的形狀，并說明理由；

（3）如圖2，當(dāng)OE＝1時(shí)，求BC的長(zhǎng)；

（4）如圖3，若點(diǎn)P是線段AD上一點(diǎn)，連接PC，當(dāng)PC與半圓O相切時(shí)，直接寫出直線PC與AD的位置關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）（2）△ABD是等邊三角形，理由詳見解析；（3）BC的長(zhǎng)為或2；（4）PC⊥AD，理由詳見解析

【解析】

（1）由圓周角定理得到，結(jié)合已知條件和等腰三角形“三線合一”性質(zhì)推知；

（2）是等邊三角形．理由：由等腰 “三線合一”性質(zhì)得到；又由（1）的結(jié)論可以推知，即是等邊三角形；

（3）分類討論：點(diǎn)在線段和線段上，借助于勾股定理求得的長(zhǎng)度；

（4）由三角形中位線定理知，又由切線的性質(zhì)知，所以根據(jù)平行線的性質(zhì)推知．

解：（1）是圓的直徑，

．

又，

．

故答案是：10；

（2）是等邊三角形，

理由如下：如圖1，

點(diǎn)與點(diǎn)重合，

，

，

，

，

，

是等邊三角形；

（3）如圖2，

，

，

當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，

則，，

，，

在和中，

由勾股定理得，即，

解得，

；

當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，同理可得，

解得，

，

綜上所述，的長(zhǎng)為或；

（4）．理由如下：

如圖3，連接．

點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，

是的中位線，

．

又與半圓相切，

，

．