【題目】(1)閱讀理解:課外興趣小組活動(dòng)時(shí),老師提出了如下問(wèn)題:
在△ABC中,AB=9,AC=5,求BC邊上的中線AD的取值范圍。
小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流,得到了如下的解決方法(如圖1):
①延長(zhǎng)AD到Q,使得DQ=AD;
②再連接BQ,把AB、AC、2AD集中在△ABQ中;
③利用三角形的三邊關(guān)系可得4<AQ<14,則AD的取值范圍是_____________。
感悟:解題時(shí),條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件,可以考慮倍長(zhǎng)中線,構(gòu)造全等三角形,把分散的己知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中。
(2)請(qǐng)你寫出圖1中AC與BQ的位置關(guān)系并證明。
(3)思考:已知,如圖2,AD是△ABC的中線,AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠FAC=90°。試探究線段AD與EF的數(shù)量和位置關(guān)系并加以證明。
【答案】(1)2<AD<7;(2)AC∥BQ,理由見(jiàn)解析;(3)EF=2AD,AD⊥EF,理由見(jiàn)解析
【解析】
(1)先判斷出BD=CD,進(jìn)而得出△QDB≌△ADC(SAS),得出BQ=AC=5,最后用三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)論;
(2)由(1)知,△QDB≌△ADC(SAS),得出∠BQD=∠CAD,即可得出結(jié)論;
(3)同(1)的方法得出△BDQ≌△CDA(SAS),則∠DBQ=∠ACD,BQ=AC,進(jìn)而判斷出∠ABQ=∠EAF,進(jìn)而判斷出△ABQ≌△EAF,得出AQ=EF,∠BAQ=∠AEF,即可得出結(jié)論.
解:(1)延長(zhǎng)AD到Q使得DQ=AD,連接BQ,
∵AD是△ABC的中線,
∴BD=CD,
在△QDB和△ADC中, ,
∴△QDB≌△ADC(SAS),
∴BQ=AC=5,
在△ABQ中,AB﹣BQ<AQ<AB+BQ,
∴4<AQ<14,
∴2<AD<7,
故答案為:2<AD<7;
(2)AC∥BQ,理由:由(1)知,△QDB≌△ADC,
∴∠BQD=∠CAD,
∴AC∥BQ;
(3)EF=2AD,AD⊥EF,
理由:如圖2,延長(zhǎng)AD到Q使得BQ=AD,連接BQ,
由(1)知,△BDQ≌△CDA(SAS),
∴∠DBQ=∠ACD,BQ=AC,
∵AC=AF,
∴BQ=AF,
在△ABC中,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠BAC+∠ABC+∠DBQ=180°,
∴∠BAC+ABQ=180°,
∵∠BAE=∠FAC=90°,
∴∠BAC+∠EAF=180°,
∴∠ABQ=∠EAF,
在△ABQ和△EAF中, ,
∴△ABQ≌△EAF,
∴AQ=EF,∠BAQ=∠AEF,
延長(zhǎng)DA交EF于P,
∵∠BAE=90°,
∴∠BAQ+∠EAP=90°,
∴∠AEF+∠EAP=90°,
∴∠APE=90°,
∴AD⊥EF,
∵AD=DQ,
∴AQ=2AD,
∵AQ=EF,
∴EF=2AD,
即:EF=2AD,AD⊥EF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),將△ABE沿AE折疊,使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F處,連接CF,則CF的長(zhǎng)度為_____
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我市某農(nóng)場(chǎng)有A、B兩種型號(hào)的收割機(jī)共20臺(tái),每臺(tái)A型收割機(jī)每天可收大麥100畝或者小麥80畝,每臺(tái)B型收割機(jī)每天可收大麥80畝或者小麥60畝,該農(nóng)場(chǎng)現(xiàn)有19 000畝大麥和11 500畝小麥先后等待收割.先安排這20臺(tái)收割機(jī)全部收割大麥,并且恰好10天時(shí)間全部收完.
(1)問(wèn)A、B兩種型號(hào)的收割機(jī)各多少臺(tái)?
(2)由于氣候影響,要求通過(guò)加班方式使每臺(tái)收割機(jī)每天多完成10%的收割量,問(wèn)這20臺(tái)收割機(jī)能否在一周時(shí)間內(nèi)完成全部小麥?zhǔn)崭钊蝿?wù)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD,BE=CF.
(1)求證:AD平分∠BAC.
(2)寫出AB+AC與AE之間的等量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形紙片ABCD中,EF∥AB,M,N是線段EF的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且MN=EF,若把該正方形紙片卷成一個(gè)圓柱,使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,若底面圓的直徑為6cm,則正方形紙片上M,N兩點(diǎn)間的距離是____________cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,,點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn),則PB+PE的最小值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:兩個(gè)等腰直角三角形()邊長(zhǎng)分別為a和b()如圖放置在一起,連接AD,
(1)求陰影部分()的面積
(2)如果有一個(gè)點(diǎn)正好位于線段的中點(diǎn),連接.得到,求的面積
(3)(2)中的三角形比(1)中的面積大還是小,大(小)多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,0),(x0,0),1<x0<2,與y軸的負(fù)半軸相交,且交點(diǎn)在(0,-2)的上方,下列結(jié)論:
①b>0;②2a<b;③2a-b-1<0;④2a+c<0.其中正確結(jié)論是 _________(填正確序號(hào))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線交BC的延長(zhǎng)線于E,交AC于F,
∠A=50°,AB+BC=16cm,則△BCF的周長(zhǎng)和∠EFC分別為多少?
(2)(生活應(yīng)用題)某公司對(duì)一批某一品牌的襯衣的質(zhì)量抽檢結(jié)果如下表:
①?gòu)倪@批襯衣中任抽1件是次品的概率約為多少?
②如果銷售這批襯衣600件,那么至少需要準(zhǔn)備多少件正品襯衣供買到次品的顧客調(diào)換?
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