【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以P為圓心的圓始終與y軸相切,設(shè)切點(diǎn)為A.
(1)如圖1,⊙P運(yùn)動(dòng)到與x軸相切,設(shè)切點(diǎn)為K,試判斷四邊形OKPA的形狀,并說明理由.
(2)如圖2,⊙P運(yùn)動(dòng)到與x軸相交,設(shè)交點(diǎn)為B,C.當(dāng)四邊形ABCP是菱形時(shí),
①求過點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)的拋物線解析式;
②在過A,B,C三點(diǎn)的拋物線上是否存在點(diǎn)M,使△MBP的面積是菱形ABCP面積的?若存在,直接寫出所有滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,試說明理由.
【答案】(1)四邊形OKPA是正方形,理由見解析;(2)①y=x2﹣x+;;②存在,M的坐標(biāo)為(0,)或(3,0)或(4,)或(7,)
【解析】
(1)先證明四邊形OKPA是矩形,又PA=PK,所以四邊形OKPA是正方形;
(2)①證明△PBC為等邊三角形;在Rt△PBG中,∠PBG=60°,設(shè)PB=PA=a,BG=,由勾股定理得:PG=a,所以P(a,),將P點(diǎn)坐標(biāo)代入y=,求出PG=,PA=BC=2,又四邊形OGPA是矩形,PA=OG=2,BG=CG=1,故OB=OG﹣BG=1,OC=OG+GC=3,即可求得a、b、c的值;設(shè)二次函數(shù)的解析式為:y=ax2+bx+c,根據(jù)題意得:a+b+c=0,9a+3b+c=0,而c=,即可求解.
②
(1)四邊形OKPA是正方形,
理由:∵⊙P分別與兩坐標(biāo)軸相切,
∴PA⊥OA,PK⊥OK,
∴∠PAO=∠OKP=90°.
又∵∠AOK=90°,
∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°.
∴四邊形OKPA是矩形.
又∵PA=PK,∴
四邊形OKPA是正方形;
(2)①連接PB,過點(diǎn)P作PG⊥BC于G.
∵四邊形ABCP為菱形,∴BC=PA=PB=PC.
∴△PBC為等邊三角形.
在Rt△PBG中,∠PBG=60°,
設(shè)PB=PA=a,BG=
由勾股定理得:PG=a,
所以P(a,),將P點(diǎn)坐標(biāo)代入y=,
解得:a=2或﹣2(舍去負(fù)值),
∴PG=,PA=BC=2.
又四邊形OGPA是矩形,PA=OG=2,BG=CG=1,
∴OB=OG﹣BG=1,OC=OG+GC=3.
∴A(0,),B(1,0),C(3,0);
設(shè):二次函數(shù)的解析式為:y=ax2+bx+c,
根據(jù)題意得:a+b+c=0,9a+3b+c=0,而c=
解得:a=,b=﹣,c=,
∴二次函數(shù)的解析式為:y=x2﹣x+;
②設(shè)直線BP的解析式為:y=ux+v,據(jù)題意得:
解之得:u=,v=﹣.
∴直線BP的解析式為:y=x﹣,
過點(diǎn)A作直線AM∥BP,則可得直線AM的解析式為:.
解方程組:
得:;.
過點(diǎn)C作直線CM∥PB,則可設(shè)直線CM的解析式為:.
∴0=.
∴.
∴直線CM的解析式為:.
解方程組:
得:;.
綜上可知,滿足條件的M的坐標(biāo)有四個(gè),分別為(0,),(3,0),(4,),(7,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①所示,已知正方形ABCD和正方形AEFG,連接DG,BE.
(1)發(fā)現(xiàn):當(dāng)正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),如圖②所示.
①線段DG與BE之間的數(shù)量關(guān)系是 ;
②直線DG與直線BE之間的位置關(guān)系是 ;
(2)探究:如圖③所示,若四邊形ABCD與四邊形AEFG都為矩形,且AD=2AB,AG=2AE時(shí),上述結(jié)論是否成立,并說明理由.
(3)應(yīng)用:在(2)的情況下,連接BG、DE,若AE=1,AB=2,求BG2+DE2的值(直接寫出結(jié)果).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020春開學(xué)為防控冠狀病毒,學(xué)生進(jìn)校園必須戴口罩,測體溫,某校開通了三條人工測體溫的通道,每周一分別由王老師、張老師、李老師三位老師給進(jìn)校園的學(xué)生測體溫(每個(gè)通道一位老師),周一有兩學(xué)生進(jìn)校園,在3個(gè)通道中,可隨機(jī)選擇其中的一個(gè)通過.
(1)其中一個(gè)學(xué)生進(jìn)校園時(shí),由王老師測體溫的概率是_________;
(2)求兩學(xué)生進(jìn)校園時(shí),都是王老師測體溫的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小邱同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),研究函數(shù)y=的圖象與性質(zhì).通過分析,該函數(shù)y與自變量x的幾組對(duì)應(yīng)值如下表,并畫出了部分函數(shù)圖象如圖所示.
x | 1 |
|
|
| 3 | 4 | 5 | 6 | … |
y | ﹣1 | ﹣2 | ﹣3.4 | ﹣7.5 | 2.4 | 1.4 | 1 | 0.8 | … |
(1)函數(shù)y=的自變量x的取值范圍是 ;
(2)在圖中補(bǔ)全當(dāng)1≤x<2的函數(shù)圖象;
(3)觀察圖象,寫出該函數(shù)的一條性質(zhì): ;
(4)若關(guān)于x的方程=x+b有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,結(jié)合圖象,可知實(shí)數(shù)b的取值范圍是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,E為邊BC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),垂直于AE的一條直線MN分別交AB,AE,CD于點(diǎn)M,P,N.小聰過點(diǎn)B作BF∥MN分別交AE,CD于點(diǎn)G,F后,猜想線段EC,DN,MB之間的數(shù)量關(guān)系為EC=DN+MB.他的猜想正確嗎?請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)),經(jīng)過點(diǎn)的直線:與軸交于點(diǎn),與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為,且.
(1)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo),并用含的式子表示直線的函數(shù)表達(dá)式(其中、用含的式子表示).
(2)點(diǎn)為直線下方拋物線上一點(diǎn),當(dāng)的面積的最大值為時(shí),求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(3)設(shè)點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上,以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形能否為矩形?若能,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩車從地出發(fā),勻速駛向地,甲車以的速度行駛后,乙車才沿相同路線行駛,乙車先到達(dá)地并停留后,再以原速沿原路返回,直至與甲車相遇.在此過程中,兩車之間的距離與乙車行駛時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,下列說法錯(cuò)誤的是( )
A.乙車的速度是B.
C.點(diǎn)的坐標(biāo)是D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列圖形都是由大小相同的黑點(diǎn)按一定規(guī)律組成的,第①個(gè)圖形中有3個(gè)黑點(diǎn)第②個(gè)圖形中有11個(gè)黑點(diǎn),第③個(gè)圖形中有27個(gè)黑點(diǎn),…,按此規(guī)律排列,則第⑦個(gè)圖形中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( 。
A.123B.171C.172D.180
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn),將正方形以為位似中心,為位似比縮小,點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是___________
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