Question

.(本題12分)
已知拋物線y=ax2+bx+c經過P（，3），E（，0）及原點O（0，0）

（1）求拋物線的解析式；
（2）過P點作平行于x軸的直線PC交y軸于C點，在拋物線對稱軸右側
且位于直線PC下方的拋物線上，任取一點Q，過點Q作直線QA平行于y
軸交x軸于A點，交直線PC于B點，直線QA與直線PC及兩坐標軸圍成矩形OABC（如圖）．是否存在點Q，使得△OPC與△PQB相似？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如果符合（2）中的Q點在x軸的上方，連接OQ，矩形OABC內的四個三角形△OPC，△PQB，△OQP，△OQA之間存在怎樣的關系，為什么？

Answer 1

解：（1）由已知可得：
解之得，a=-，b=，c=0．
因而得，拋物線的解析式為：y=-x²+x．
（2）存在．
設Q點的坐標為（m，n），則，
要使△OCP∽△PBQ，
則有，即，
解之得，m₁=3，m₂=．
當m₁=時，n=2，即為P點，
所以得Q（2，2）
要使△OCP∽△QPB，則有，即
解之得，m₁=3，m2=，
當m=時，即為P點，
當m₁=3時，n=-3，
所以得Q（3，-3）．
故存在兩個Q點使得△OCP與△PBQ相似．Q點的坐標為（2，2），（3，-3）．
（3）在Rt△OCP中，
因為tan∠COP=
所以∠COP=30度．
當Q點的坐標為（2，2）時，∠BPQ=∠COP=30度．
所以∠OPQ=∠OCP=∠B=∠QAO=90度．
因此，△OPC，△PQB，△OPQ，△OAQ都是直角三角形．
又在Rt△OAQ中，
因為tan∠QOA=．
所以∠QOA=30度．
即有∠POQ=∠QOA=∠QPB=∠COP=30度．
所以△OPC∽△PQB∽△OQP∽△OQA，
又因為QP⊥OP，QA⊥OA∠POQ=∠AOQ=30°，
所以△OQA≌△OQP．解析:
此題是二次函數的綜合題，知識點較多，有一定難度。