【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于C(0,﹣3)點(diǎn),點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.
(2)連接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四邊形POP′C,那么是否存在點(diǎn)P,使四邊形POP′C為菱形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形ABPC的面積最大?求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)存在,P點(diǎn)的坐標(biāo)為(,);(3)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(,),四邊形ABPC的面積的最大值為.
【解析】
(1)將B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求得待定系數(shù)的值;
(2)由于菱形的對(duì)角線互相垂直平分,若四邊形POP'C為菱形,那么P點(diǎn)必在OC的垂直平分線上,據(jù)此可求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo),代入拋物線的解析式中即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)由于△ABC的面積為定值,當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時(shí),△BPC的面積最大;過(guò)P作y軸的平行線,交直線BC于Q,交x軸于F,易求得直線BC的解析式,可設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo),然后根據(jù)拋物線和直線BC的解析式求出Q、P的縱坐標(biāo),即可得到PQ的長(zhǎng),以PQ為底,B點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為高即可求得△BPC的面積,由此可得到關(guān)于四邊形ACPB的面積與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形ABPC的最大面積及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo).
將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得:,
解得:,
所以二次函數(shù)的表達(dá)式為:y=x2﹣2x﹣3;
(2)存在點(diǎn)P,使四邊形POP'C為菱形.
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x2﹣2x﹣3),PP'交CO于E.
若四邊形POP'C是菱形,則有PC=PO.連接PP',如圖1,則PE⊥CO于E.
∵C(0,﹣3),
∴CO=3.
又∵OE=EC,
∴OE=EC,
∴y,
∴x2﹣2x﹣3,
解得:x1,x2(不合題意,舍去),
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為().
過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q,與OB交于點(diǎn)F,如圖2,
設(shè)P(x,x2﹣2x﹣3),
設(shè)直線BC的解析式為:y=kx+d,則,
解得:,
∴直線BC的解析式為y=x﹣3,則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,x﹣3).
當(dāng)0=x2﹣2x﹣3,解得:x1=﹣1,x2=3,
∴AO=1,AB=4,S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
ABOCQPBFQPOF
當(dāng)時(shí),四邊形ABPC的面積最大.
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為,四邊形ABPC的面積的最大值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某賓館有若干間住房,住宿記錄提供了如下信息:
(1)4月17日全部住滿,一天住宿費(fèi)收入為12000元;
(2)4月18日有20間房空著,一天住宿費(fèi)收入為9600元;
(3)該賓館每間房每天收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)相同.
①一個(gè)分式方程,求解該賓館共有多少間住房,每間住房每天收費(fèi)多少元?
②通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),每間住房每天的定價(jià)每增加10元,就會(huì)有5個(gè)房間空閑;已知該賓館空閑房間每天每間支出費(fèi)用10元,有顧客居住房間每天每間支出費(fèi)用20元,問房?jī)r(jià)定為多少元時(shí),該賓館一天的利潤(rùn)為11000元?(利潤(rùn)=住宿費(fèi)收入﹣支出費(fèi)用)
③在(2)的計(jì)算基礎(chǔ)上,你能發(fā)現(xiàn)房?jī)r(jià)定為多少元時(shí),該賓館一天的利潤(rùn)最大?請(qǐng)直接寫出結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中,△ABC的頂點(diǎn)均落在格點(diǎn)上.
(1)將△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,得到△A1B1C1.在網(wǎng)格中畫出△A1B1C1;
(2)求線段OA在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的圖形面積;(結(jié)果保留π)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤中,指針位置固定,三個(gè)扇形的面積都相等,且分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3.
(1)小明轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),指針?biāo)干刃沃械臄?shù)字是奇數(shù)的概率為________;
(2)小明先轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),記錄下指針?biāo)干刃沃械臄?shù)字;接著再轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),再次記錄下指針?biāo)干刃沃械臄?shù)字,求這兩個(gè)數(shù)字之和是3的倍數(shù)的概率(用畫樹狀圖或列表等方法求解)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠AOB=110°,∠BOC=α,將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC,連接OD,得△AOD,若△AOD為等腰三角形,則α=________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】菱形ABCD中、∠BAD=120°,點(diǎn)O為射線CA 上的動(dòng)點(diǎn),作射線OM與直線BC相交于點(diǎn)E,將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到射線ON,射線ON與直線CD相交于點(diǎn)F.
(1)如圖①,點(diǎn)O與點(diǎn)A重合時(shí),點(diǎn)E,F分別在線段BC,CD上,請(qǐng)直接寫出CE,CF,CA三條段段之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖②,點(diǎn)O在CA的延長(zhǎng)線上,且OA=AC,E,F分別在線段BC的延長(zhǎng)線和線段CD的延長(zhǎng)線上,請(qǐng)寫出CE,CF,CA三條線段之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)點(diǎn)O在線段AC上,若AB=6,BO=2,當(dāng)CF=1時(shí),請(qǐng)直接寫出BE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】A、B兩地相距240千米,甲、兩車沿同一線路從A地出發(fā)到B地,分別以一定的速度勻速行駛,甲先出發(fā)40分鐘,乙車才出發(fā),途中乙車發(fā)生故障,修車耗時(shí)20分鐘,隨后乙車車速比發(fā)生故障前減少了a千米/小時(shí)(仍保持勻速行駛),甲、乙兩車同時(shí)到達(dá)B地,甲、乙兩車相距的路程y(千米)與甲車行駛時(shí)間x(小時(shí))之間的關(guān)系如圖所示,則a的值為____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,4),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,4),連接AB、BC、OC
(1)求證四邊形OABC是菱形;
(2)直線l過(guò)點(diǎn)C且與y軸平行,將直線l沿x軸正方向平移,平移后的直線交x軸于點(diǎn)P.
①當(dāng)OP:PA=3:2時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
②點(diǎn)Q在直線1上,在直線l平移過(guò)程中,當(dāng)△COQ是等腰直角三角形時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,由一些完全相同的小正方體搭成的幾何體的俯視圖和左視圖,組成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是 .
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