Question

【題目】已知如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，點D在AB上，DE⊥AB交BC于E，點F是AE的中點

（1）寫出線段FD與線段FC的關系并證明；

（2）如圖2，將△BDE繞點B逆時針旋轉α（0°＜α＜90°），其它條件不變，線段FD與線段FC的關系是否變化，寫出你的結論并證明；

（3）將△BDE繞點B逆時針旋轉一周，如果BC＝4，BE＝2，直接寫出線段BF的范圍．

Answer 1

【答案】（1）結論：FD＝FC，DF⊥CF．理由見解析；（2）結論不變．理由見解析；（3）≤BF．

【解析】

（1）結論：FD＝FC，DF⊥CF．由直角三角形斜邊中線定理即可證明；

（2）如圖2中，延長AC到M使得CM＝CA，延長ED到N，使得DN＝DE，連接BN、BM．EM、AN，延長ME交AN于H，交AB于O．想辦法證明△ABN≌△MBE，推出AN＝EM，再利用三角形中位線定理即可解決問題；

（3）分別求出BF的最大值、最小值即可解決問題；

解：（1）結論：FD＝FC，DF⊥CF．

理由：如圖1中，

∵∠ADE＝∠ACE＝90°，AF＝FE，

∴DF＝AF＝EF＝CF，

∴∠FAD＝∠FDA，∠FAC＝∠FCA，

∴∠DFE＝∠FDA+∠FAD＝2∠FAD，∠EFC＝∠FAC+∠FCA＝2∠FAC，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，

∴∠BAC＝45°，

∴∠DFC＝∠EFD+∠EFC＝2（∠FAD+∠FAC）＝90°，

∴DF＝FC，DF⊥FC．

（2）結論不變．

理由：如圖2中，延長AC到M使得CM＝CA，延長ED到N，使得DN＝DE，連接BN、BM．EM、AN，延長ME交AN于H，交AB于O．

∵BC⊥AM，AC＝CM，

∴BA＝BM，同法BE＝BN，

∵∠ABM＝∠EBN＝90°，

∴∠NBA＝∠EBM，

∴△ABN≌△MBE，

∴AN＝EM，∴∠BAN＝∠BME，

∵AF＝FE，AC＝CM，

∴CF＝EM，FC∥EM，同法FD＝AN，FD∥AN，

∴FD＝FC，

∵∠BME+∠BOM＝90°，∠BOM＝∠AOH，

∴∠BAN+∠AOH＝90°，

∴∠AHO＝90°，

∴AN⊥MH，FD⊥FC．

（3）．

當點落在上時，取得最大值，

如圖5所示，∵，，，∴，

∵是的中點，∴，

又，

∴，

即的最大值為．

圖5

當點落在延長線上時，取得長最小值，

如圖6所示，∵，，，∴，

∵是的中點，∴，

又，

∴，

即的最小值為．

圖6

綜上所述，．