Question

如圖1，在△ABC和△PQD中，AC = k BC，DP = k DQ，∠C =∠PDQ，D、E分別是AB、AC的中點，點P在直線BC上，連結EQ交PC于點H．

猜想線段EH與AC的數量關系，并證明你的猜想．

 

Answer 1

結論：EH=AC．

證明：取BC邊中點F，連接DE、DF

∵D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點．

∴DE∥BC且DE=BC，

 DF∥AC且DF=AC，

 EC=AC ∴四邊形DFCE是平行四邊形．

∴∠EDF=∠C． 

∵∠C=∠PDQ，∴∠PDQ =∠EDF ， ∴∠PDF=∠QDE．

又∵AC=kBC，∴DF=kDE．

∵DP=kDQ ，∴．

∴△PDF∽△QDE．

∴∠DEQ=∠DFP．

又∵DE∥BC，DF∥AC， ∴∠DEQ=∠EHC，∠DFP=∠C．

∴∠C =∠EHC．

∴EH=EC．

∴EH=AC．

選圖2．結論：EH=AC．

證明：取BC邊中點F，連接DE、DF．

∵D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點，

∴DE∥BC且DE=BC， DF∥AC且DF=AC，

EC=AC ，∴四邊形DFCE是平行四邊形．

∴∠EDF=∠C．

∵∠C=∠PDQ，∴∠PDQ=∠EDF ， ∴∠PDF=∠QDE．

又∵AC=BC， ∴DE=DF，∵PD=QD，∴△PDF≌△QDE．

∴∠DEQ=∠DFP．

∵DE∥BC，DF∥AC， ∴∠DEQ=∠EHC，∠DFP=∠C．

∴∠C =∠EHC

∴EH=EC．

∴EH=AC．

選圖3． 結論： EH=AC．

證明：連接AH．

∵D是AB中點，∴DA=DB．

又∵DB=DQ，∴DQ=DP=AD．∴∠DBQ=∠DQB，．

∵∠DBQ+∠DQB+∠DQA+∠DAQ，=180°，∴∠AQB=90°，

∴AH⊥BC．

又∵E是AC中點，∴HE=AC．