【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與y軸交與點(diǎn)C(0,3),與x軸交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)B坐標(biāo)為(4,0),拋物線的對(duì)稱軸方程為x=1.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā),在線段AB上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā),在線段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng),其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng),設(shè)△MBN的面積為S,點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,試求S與t的函數(shù)關(guān)系,并求S的最大值;
(3)在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在某一時(shí)刻t,使△MBN為直角三角形?若存在,求出t值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)
解:∵點(diǎn)B坐標(biāo)為(4,0),拋物線的對(duì)稱軸方程為x=1.
∴A(﹣2,0),
把點(diǎn)A(﹣2,0)、B(4,0)、點(diǎn)C(0,3),分別代入y=ax2+bx+c(a≠0),得
,解得 ,
所以該拋物線的解析式為:y=﹣ x2+ x+3
(2)
解:設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,則AM=3t,BN=t.
∴MB=6﹣3t.
由題意得,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3).
在Rt△BOC中,BC= =5.
如圖1,過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AB于點(diǎn)H.
∴NH∥CO,
∴△BHN∽△BOC,
∴ ,即 = ,
∴HN= t.
∴S△MBN= MBHN= (6﹣3t) t=﹣ t2+ t=﹣ (t﹣1)2+ ,
當(dāng)△PBQ存在時(shí),0<t<2,
∴當(dāng)t=1時(shí),
S△PBQ最大= .
答:運(yùn)動(dòng)1秒使△PBQ的面積最大,最大面積是
(3)
解:如圖2,
在Rt△OBC中,cos∠B= = .
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,則AM=3t,BN=t.
∴MB=6﹣3t.
當(dāng)∠MNB=90°時(shí),cos∠B= = ,即 = ,
化簡(jiǎn),得17t=24,解得t= ,
當(dāng)∠BMN=90°時(shí),cos∠B= = ,
化簡(jiǎn),得19t=30,解得t= ,
綜上所述:t= 或t= 時(shí),△MBN為直角三角形.
【解析】(1)把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式,列出關(guān)于系數(shù)a、b、c的解析式,通過(guò)解方程組求得它們的值;(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.利用三角形的面積公式列出S△MBN與t的函數(shù)關(guān)系式S△MBN=﹣ (t﹣1)2+ .利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行解答;(3)根據(jù)余弦函數(shù),可得關(guān)于t的方程,解方程,可得答案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣3經(jīng)過(guò)A(﹣1,0)B(4,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C
(1)求拋物線解析式;
(2)點(diǎn)N是x軸下方拋物線上的一點(diǎn),連接AN,若tan∠BAN=2,求點(diǎn)N的縱坐標(biāo);
(3)點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn),連接AD,在x軸上是否存在E,使∠AED=∠CAD?如果存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E坐標(biāo),如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(4)連接AC、BC,△ABC的中線BM交y軸于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC,垂足為G,點(diǎn)F是線段BH上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、H重合),點(diǎn)F沿線段BH從點(diǎn)B向H移動(dòng),移動(dòng)后的點(diǎn)記作點(diǎn)F′,連接F′C、F′A,△F′AC的F′C、F′A兩邊上的高交于點(diǎn)P,連接AP,CP,△F′AC與△PAC的面積分別記為S1 , S2 , S1和S2的乘積記為m,在點(diǎn)F的移動(dòng)過(guò)程中,探究m的值變化情況,若變化,請(qǐng)直接寫(xiě)出m的變化范圍,若不變,直接寫(xiě)出這個(gè)m值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,AD=2 ,把邊BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到線段BP,連接AP并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)E,連接PC,則三角形PCE的面積為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某水果店在兩周內(nèi),將標(biāo)價(jià)為10元/斤的某種水果,經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的價(jià)格為8.1元/斤,并且兩次降價(jià)的百分率相同.
(1)求該種水果每次降價(jià)的百分率;
(2)從第一次降價(jià)的第1天算起,第x天(x為整數(shù))的售價(jià)、銷(xiāo)量及儲(chǔ)存和損耗費(fèi)用的相關(guān)信息如表所示.已知該種水果的進(jìn)價(jià)為4.1元/斤,設(shè)銷(xiāo)售該水果第x(天)的利潤(rùn)為y(元),求y與x(1≤x<15)之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出第幾天時(shí)銷(xiāo)售利潤(rùn)最大?
時(shí)間x(天) | 1≤x<9 | 9≤x<15 | x≥15 |
售價(jià)(元/斤) | 第1次降價(jià)后的價(jià)格 | 第2次降價(jià)后的價(jià)格 | |
銷(xiāo)量(斤) | 80﹣3x | 120﹣x | |
儲(chǔ)存和損耗費(fèi)用(元) | 40+3x | 3x2﹣64x+400 |
(3)在(2)的條件下,若要使第15天的利潤(rùn)比(2)中最大利潤(rùn)最多少127.5元,則第15天在第14天的價(jià)格基礎(chǔ)上最多可降多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商店購(gòu)買(mǎi)一批單價(jià)為20元的日用品,如果以單價(jià)30元銷(xiāo)售,那么半月內(nèi)可以售出400件.據(jù)銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn),提高銷(xiāo)售單價(jià)會(huì)導(dǎo)致銷(xiāo)售量的減少,即銷(xiāo)售單價(jià)每提高一元,銷(xiāo)售量相應(yīng)減少20件.如何提高銷(xiāo)售價(jià),才能在半月內(nèi)獲得最大利潤(rùn)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是根據(jù)某市2010年至2014年工業(yè)生產(chǎn)總值繪制的折線統(tǒng)計(jì)圖,觀察統(tǒng)計(jì)圖獲得以下信息,其中信息判斷錯(cuò)誤的是( )
A.2010年至2014年間工業(yè)生產(chǎn)總值逐年增加
B.2014年的工業(yè)生產(chǎn)總值比前一年增加了40億元
C.2012年與2013年每一年與前一年比,其增長(zhǎng)額相同
D.從2011年至2014年,每一年與前一年比,2014年的增長(zhǎng)率最大
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”計(jì)算圓周率.隨著時(shí)代發(fā)展,現(xiàn)在人們依據(jù)頻率估計(jì)概率這一原理,常用隨機(jī)模擬的方法對(duì)圓周率π進(jìn)行估計(jì),用計(jì)算機(jī)隨機(jī)產(chǎn)生m個(gè)有序數(shù)對(duì)(x,y)(x,y是實(shí)數(shù),且0≤x≤1,0≤y≤1),它們對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中全部在某一個(gè)正方形的邊界及其內(nèi)部.如果統(tǒng)計(jì)出這些點(diǎn)中到原點(diǎn)的距離小于或等于1的點(diǎn)有n個(gè),則據(jù)此可估計(jì)π的值為 . (用含m,n的式子表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O直徑,點(diǎn)C在⊙O上,AD平分∠CAB,BD是⊙O的切線,AD與BC相交于點(diǎn)E.
(1)求證:BD=BE;
(2)若DE=2,BD= ,求CE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為12,D是AB上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)D作DE⊥AC于點(diǎn)E,過(guò)E作EF⊥BC于點(diǎn)F,過(guò)F作FG⊥AB于點(diǎn)G.當(dāng)G與D重合時(shí),AD的長(zhǎng)是( )
A.3
B.4
C.8
D.9
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