Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與y軸交與點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），拋物線的對(duì)稱軸方程為x=1．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)△MBN的面積為S，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，試求S與t的函數(shù)關(guān)系，并求S的最大值；
（3）在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使△MBN為直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），拋物線的對(duì)稱軸方程為x=1．

∴A（﹣2，0），

把點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0）、點(diǎn)C（0，3），分別代入y=ax2+bx+c（a≠0），得

，解得 ，

所以該拋物線的解析式為：y=﹣ x2+ x+3

（2）

解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AM=3t，BN=t．

∴MB=6﹣3t．

由題意得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．

在Rt△BOC中，BC= =5．

如圖1，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AB于點(diǎn)H．

∴NH∥CO，

∴△BHN∽△BOC，

∴ ，即 = ，

∴HN= t．

∴S△MBN= MBHN= （6﹣3t） t=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣1）2+ ，

當(dāng)△PBQ存在時(shí)，0＜t＜2，

∴當(dāng)t=1時(shí)，

S△PBQ最大= ．

答：運(yùn)動(dòng)1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是

（3）

解：如圖2，

在Rt△OBC中，cos∠B= = ．

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AM=3t，BN=t．

∴MB=6﹣3t．

當(dāng)∠MNB=90°時(shí)，cos∠B= = ，即 = ，

化簡(jiǎn)，得17t=24，解得t= ，

當(dāng)∠BMN=90°時(shí)，cos∠B= = ，

化簡(jiǎn)，得19t=30，解得t= ，

綜上所述：t= 或t= 時(shí)，△MBN為直角三角形．

【解析】（1）把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，列出關(guān)于系數(shù)a、b、c的解析式，通過(guò)解方程組求得它們的值；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．利用三角形的面積公式列出S△MBN與t的函數(shù)關(guān)系式S△MBN=﹣ （t﹣1）2+ ．利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行解答；（3）根據(jù)余弦函數(shù)，可得關(guān)于t的方程，解方程，可得答案．