【題目】如圖,已知△BAC為圓O內接三角形,AB=AC,D為⊙O上一點,連接CD、BD,BD與AC交于點E,且BC2=ACCE
①求證:∠CDB=∠CBD;
②若∠D=30°,且⊙O的半徑為3+,I為△BCD內心,求OI的長.
【答案】①證明見解析;②.
【解析】
①先求出,然后求出△BCE和△ACB相似,根據(jù)相似三角形對應角相等可得∠A=∠CBE,再根據(jù)在同圓或等圓中,同弧所對的圓周角相等可得∠A=∠CDB,然后求出∠CDB=∠CBD;
②連接OB、OC,根據(jù)在同圓或等圓中,同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍求出∠BOC=60°,然后判定△OBC是等邊三角形,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質以及三角形的內心的性質可得OC經(jīng)過點I,設OC與BD相交于點F,然后求出CF,再根據(jù)I是三角形的內心,利用三角形的面積求出IF,然后求出CI,最后根據(jù)OI=OC﹣CI計算即可得解.
①證明:∵BC2=ACCE,
∴,
∠BCE=∠ACB,
∴△BCE∽△ACB,
∴∠CBD=∠A,
∵∠A=∠CDB,
∴∠CDB=∠CBD.
②解:連接OB、OC,
∵∠A=∠D=30°,
∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°,
∵OB=OC,
∴△OBC是等邊三角形,
∵CD=CB,I是△BCD的內心,
∴OC經(jīng)過點I,
設OC與BD相交于點F,
則CF=BC×sin30°=BC,
BF=BCcos30°=BC,
所以,BD=2BF=2×BC=BC,
設△BCD內切圓的半徑為r,
則S△BCD=BDCF=(BD+CD+BC)r,
即BCBC=(BC+BC+BC)r,
解得r=BC=BC,
即IF=BC,
所以,CI=CF﹣IF=BC﹣BC=(2﹣)BC,
OI=OC﹣CI=BC﹣(2﹣)BC=(﹣1)BC,
∵⊙O的半徑為3+,
∴BC=3+,
∴OI=(﹣1)(3+)=3+3﹣3﹣=2.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線與軸交于點,與軸交于點,點是的中點,繞點按順時針旋轉,且,的一邊交軸于點,開始時另一邊經(jīng)過點,點坐標為,當旋轉過程中,射線與軸的交點由點到點的過程中,則經(jīng)過點三點的圓的圓心所經(jīng)過的路徑長為( )
A. B. C. D.
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【題目】在一個不透明的盒子中放有四張分別寫有數(shù)字1、2、3、4的紅色卡片和三張分別寫有數(shù)字1、2、3的藍色卡片,卡片除顏色和數(shù)字外其它完全相同。
(1)從中任意抽取一張卡片,則該卡片上寫有數(shù)字1的概率是;
(2)將3張藍色卡片取出后放入另外一個不透明的盒子內,然后在兩個盒子內各任意抽取一張卡片,以紅色卡片上的數(shù)字作為十位數(shù),藍色卡片上的數(shù)字作為個位數(shù)組成一個兩位數(shù),求這個兩位數(shù)大于22的概率。(請利用樹狀圖或列表法說明)
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【題目】Windows2000下有一個有趣的“掃雷”游戲.如圖是“掃雷”游戲的一部分,說明:圖中數(shù)字2表示在以該數(shù)字為中心的周邊8個方格中有2個地雷,小旗表示該方格已被探明有地雷.現(xiàn)在還剩下、、三個方格未被探明,其他地方為安全區(qū)(包括有數(shù)字的方格),則、、三個方格中有地雷概率最大的方格是( )
2 | 2 | ||
A. A B. B C. C D. 無法確定
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【題目】如圖,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC與DE相交于點F,連接CD,EB.
(1)圖中還有幾對全等三角形,請你一一列舉;
(2)求證:CF=EF.
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【題目】如圖,要在木里縣某林場東西方向的兩地之間修一條公路MN,已知點C周圍200 m范圍內為原始森林保護區(qū),在MN上的點A處測得C在A的北偏東45°方向上,從A向東走600 m到達B處,測得C在點B的北偏西60°方向上.
(1)MN是否穿過原始森林保護區(qū)?為什么?(參考數(shù)據(jù): ≈1.732)
(2)若修路工程順利進行,要使修路工程比原計劃提前5天完成,需將原定的工作效率提高25%,則原計劃完成這項工程需要多少天?
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【題目】觀察下列等式:
第1個等式:
第2個等式:
第3等式:
第4個等式:
請解答下列問題:
(1)按以上規(guī)律寫出第5個等式:a5= = .
(2)用含n的式子表示第n個等式:an= = (n為正整數(shù)).
(3)求a1+a2+a3+a4+…+a2018的值.
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【題目】如圖,從熱氣球C上測得兩建筑物A、B底部的俯角分別為30°和60度.如果這時氣球的高度CD為90米.且點A、D、B在同一直線上,求建筑物A、B間的距離.
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