Question

平面上有4個(gè)點(diǎn)，其中任意三個(gè)點(diǎn)作成的三角形面積都小于1，試證明：存在一個(gè)面積小于4的三角形包含這4個(gè)點(diǎn)．

Answer 1

分析：不妨設(shè)△ABC是其中面積最大的一個(gè)三角形．再過(guò)A、B、C分別作對(duì)邊的平行線，可證得S_△EFG＜4，則第四個(gè)頂點(diǎn)D必在△EFG內(nèi)，即可推出與△ABC的面積最大矛盾，從而得出結(jié)論．

解答： 解：以給定的4個(gè)點(diǎn)（A、B、C、D）為頂點(diǎn)的三角形數(shù)目是有限的，不妨設(shè)△ABC是其中面積最大的一個(gè)三角形．過(guò)A、B、C分別作對(duì)邊的平行線，它們相交可得△EFG（如圖所示）．顯然S_△EFG＜4，則第四個(gè)頂點(diǎn)D必在△EFG內(nèi)，否則與△ABC的面積最大矛盾，從而得證．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道難度較大的證明題，考查了面積及等積變換，用反證法來(lái)證明此題比較簡(jiǎn)單．