【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,DBC上任意一點(diǎn),過點(diǎn)D分別向AB、AC引垂線,垂足分別為點(diǎn)E、F.

(1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)DBC的什么位置時(shí),DE=DF?并證明;

(2)在滿足第一問的條件下,連接AD,此時(shí)圖中共有幾對(duì)全等三角形?請(qǐng)寫出所有的全等三角形(不必證明);

(3)如圖②,過點(diǎn)CAB邊上的高CG,請(qǐng)問DE、DF、CG的長之間存在怎樣的等量關(guān)系?并加以證明.

【答案】(1)當(dāng)點(diǎn)D在BC的中點(diǎn)上時(shí),DE=DF,證明見解析;(2)有3對(duì)全等三角形,有△BED≌△CFD,△ADB≌△ADC,△AED≌△AFD;(3)CG=DE+DF,證明見解析.

【解析】

試題分析:(1)因?yàn)楫?dāng)△BED和△CFD時(shí),DE=DF,所以當(dāng)點(diǎn)DBC中點(diǎn)時(shí),可利用AAS判定△BED和△CFD全等,利用全等三角形的性質(zhì)可得DE=DF,

(2)(1)的結(jié)論下:DE=DF,BD=CD, 利用SSS可判定ADB≌△ADC,

利用HL可判定△AED≌△AFD,利用AAS可判定BED≌△CFD,所以有3對(duì)全等三角形.

(3)連接AD,根據(jù)三角形的面積公式即可求證.

(1)當(dāng)點(diǎn)DBC的中點(diǎn)上時(shí),DE=DF,

證明:DBC中點(diǎn),

BD=CD,

AB=AC,

∴∠B=C,

DEAB,DFAC,

∴∠DEB=DFC=90°,

∵在BEDCFD,

∴△BED≌△CFD(AAS),

DE=DF

(2)

3對(duì)全等三角形,有△BED≌△CFD,ADB≌△ADC,AED≌△AFD,

(3)CG=DE+DF,

證明:連接AD,

因?yàn)?/span>,

所以,

因?yàn)?/span>AB=AC,

所以.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB=CD,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AEBD于點(diǎn)E,CFBD于點(diǎn)F,連接AF,CE,若DE=BF,則下列結(jié)論:CF=AE;OE=OF;四邊形ABCD是平行四邊形;圖中共有四對(duì)全等三角形.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是

A.4 B.3 C2 D.1

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【題目】如圖,點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn),過點(diǎn)O作射線OC,使∠BOC=135°,將一個(gè)含45°角的直角三角尺的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處,斜邊OM與直線AB重合,另外兩條直角邊都在直線AB的下方.

1)將圖1中的三角尺繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,如圖2所示,此時(shí)∠BOM=_____;在圖2中,OM是否平分∠CON?請(qǐng)說明理由;

2)緊接著將圖2中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置所示,使得ON在∠AOC的內(nèi)部,請(qǐng)?zhí)骄浚骸?/span>AOM與∠CON之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

3)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按每秒的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)的過程中,第t秒時(shí),直線ON恰好平分銳角∠AOC,則t的值為_____(直接寫出結(jié)果).

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【題目】將拋物線 先向右平移3個(gè)單位長度,再向上平移2個(gè)單位長度后得到新的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 .

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【題目】如圖,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,點(diǎn)DE分別在邊AB、AC上,且AD=AE,連接BE、CD,交于點(diǎn)F

(1)判斷∠ABE與∠ACD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

(2)求證:過點(diǎn)A、F的直線垂直平分線段BC

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【題目】如圖,正方形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、BD分別在長方形 EFGH的邊EF、FGEHCHG的距離是1,到點(diǎn)H,G的距離分別為,則正方形ABCD的面積為______

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【題目】(數(shù)學(xué)閱讀)

如圖1,在ABC中,ABAC,點(diǎn)P為邊BC上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)PPDABPEAC,垂足分別為D,E,過點(diǎn)CCFAB,垂足為F,求證PDPECF

小堯的證明思路是如圖2,連接AP,由ABPACP面積之和等于ABC的面積可以證得PDPECF

推廣延伸

如圖3,當(dāng)點(diǎn)PBC延長線上時(shí),其余條件不變,請(qǐng)運(yùn)用上述解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法,猜想PDPECF的數(shù)量關(guān)系,并證明

解決問題

如圖4,在平面直角坐標(biāo)系中有兩條直線l1y=-x+3,l2y=3x+3,l1,l2x軸的交點(diǎn)分別為AB

(1)兩條直線的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ;

(2)說明△ABC是等腰三角形;

(3)l2上的一點(diǎn)Ml1的距離是1,運(yùn)用上面的結(jié)論,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

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【題目】如圖,△ABC中,DBC的中點(diǎn),過D點(diǎn)的直線GFACF,交AC的平行線BGG點(diǎn),DE⊥DF,交AB于點(diǎn)E,連結(jié)EG、EF

1)求證:BGCF

2)請(qǐng)你判斷BE+CFEF的大小關(guān)系,并說明理由.

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【題目】八年級(jí)一班小張陪媽媽到水果市場(chǎng)購買水果,在一個(gè)水果攤前聽到媽媽與售貨員的對(duì)話:

媽媽:“售貨員同志,請(qǐng)幫我買些上次梨.

售貨員:“大媽,您上次買的那種梨都賣完了,我們還沒來得及進(jìn)貨,我建議這次您買些新進(jìn)的蘋果,價(jià)格比梨貴一點(diǎn),不過蘋果的營養(yǎng)價(jià)值更高.

媽媽:“好,你們的服務(wù)態(tài)度和服務(wù)質(zhì)量我很滿意,這次我照上次一樣,也買30元錢的蘋果吧.”回家后對(duì)照前后兩次的電腦小票,小張發(fā)現(xiàn):每千克蘋果的單價(jià)價(jià)是梨的單價(jià)的1.5倍,蘋果的重量比梨輕2.5千克.

小張根據(jù)上面的對(duì)話和發(fā)票,求出了梨和蘋果的單價(jià),你知道梨和蘋果的單價(jià)各是多少?

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