Question

【題目】如圖，反比例函數(shù)(k≠0）與一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）相交于點(diǎn)A（1，3），B（c，﹣1）．

（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；

（2）在反比例函數(shù)圖象上存在點(diǎn)C，使△AOC為等腰三角形，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)，請直接寫出一個(gè)以AC為底邊的等腰三角形頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數(shù)解析式為y=；一次函數(shù)解析式為y=x+2；（2）C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣3）或（3，1）或（﹣3，﹣1）．

【解析】

（1）把點(diǎn)A（1，3）代入反比例函數(shù)的解析式即可求得k值，從而得到反比例函數(shù)的解析式；再把B（c，﹣1）代入反比例函數(shù)的解析式，求得c值，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式即可；（2）分①以OA為腰時(shí)， AC為底、②以OA為腰時(shí)， OC為底、③以OA為底三種情況求點(diǎn)C的坐標(biāo)即可.

（Ⅰ）∵點(diǎn)A（1，3）在反比例函數(shù)圖象上，

∴k=1×3=3，

∴反比例函數(shù)解析式為y=；

∵B（c，﹣1）在反比例函數(shù)圖象上，

∴c=﹣3，

∴B（﹣3，﹣1），

∵A、B在一次函數(shù)圖象上，

∴，解得，

∴一次函數(shù)解析式為y=x+2；

（Ⅱ）當(dāng)OA為腰時(shí)，若AC為底，則以O為圓心，OA為半徑畫圓，如圖1，

此時(shí)圓與反比例函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即滿足條件的點(diǎn)C有三個(gè)；

若OC為底，則以A為圓心，OA長為半徑畫圓，如圖2，

此時(shí)圓與反比例函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即滿足條件的點(diǎn)C有兩個(gè)；

當(dāng)OA為底時(shí)，則點(diǎn)C在線段OA的垂直平分線上，如圖3，

此時(shí)沒有滿足條件的點(diǎn)C；

綜上可知滿足條件的點(diǎn)C有5個(gè)；

可設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（t，），

∵A（1，3），

∴OA2=12+32=10，OC2=t2+（）2=t2+，

當(dāng)△AOC是以AC為底的等腰三角形時(shí)，則有OA=OC，即OA2=OC2，

∴10=t2+，解得t=1或t=﹣1或t=3或t=﹣3，

當(dāng)t=1時(shí)，C與A重合，舍去，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣3）或（3，1）或（﹣3，﹣1）．