Question

【題目】如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到點(diǎn)A，B和D的距離分別為1，2，.△ADP沿點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABP′，連接PP′，并延長AP與BC相交于點(diǎn)Q.

(1)求證：△APP′是等腰直角三角形；

(2)求∠BPQ的大�。�

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠BPQ=45°．

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，△APD≌△AP′B，所以AP=AP′，∠PAD=∠P′AB，因為∠PAD+∠PAB=90°，所以∠P′AB+∠PAB=90°，即∠PAP′=90°，故△APP′是等腰直角三角形；

（2）根據(jù)勾股定理逆定理可判斷△PP′B是直角三角形，再根據(jù)平角定義求出結(jié)果.

（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∵△ADP沿點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABP′，

∴AP=AP′，∠PAP′=∠DAB=90°，

∴△APP′是等腰直角三角形；

（2）解：∵△APP′是等腰直角三角形，

∴PP′=PA=，∠APP′=45°，

∵△ADP沿點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABP′，

∴PD=P′B=，

在△PP′B中，PP′=，PB=2，P′B=，

∵（）2+（2）2=（）2，

∴PP′2+PB2=P′B2，

∴△PP′B為直角三角形，∠P′PB=90°，

∴∠BPQ=180°﹣∠APP′﹣∠P′PB=180°﹣45°﹣90°=45°．