【題目】如圖1,直線AB與x、y軸分別相交于點B、A,點C為x軸上一點,以AB、BC為邊作平行四邊形ABCD,連接BD,BD=BC,將△AOB沿x軸從左向右以每秒一個單位的速度運動,當點O和點C重合時運動停止,設△AOB與△BCD重合部分的面積為S,運動時間為t秒,S與t之間的函數(shù)如圖(2)所示(其中0<t≤2,2<t≤m,m<t<n時函數(shù)解析式不同).
(1)點B的坐標為 ,點D的坐標為 ;
(2)求S與t的函數(shù)解析式,并寫出t的取值范圍.
【答案】(1)(2)當0<t≤2時,S=,當2<t≤5時,S=,當5<t<7時,S=t2﹣14t+49.
【解析】
(1)由圖象可得當t=2時,點O與點B重合,當t=m時,△AOB在△BDC內(nèi)部,可求點B坐標,過點D作DH⊥BC,可證四邊形AOHD是矩形,可得AO=DH,AD=OH,由勾股定理可求BD的長,即可得點D坐標;
(2)分三種情況討論,由相似三角形的性質(zhì)可求解.
解:(1)由圖象可得當t=2時,點O與點B重合,
∴OB=1×2=2,
∴點B(2,0),
如圖1,過點D作DH⊥BC,
由圖象可得當t=m時,△AOB在△BDC內(nèi)部,
∴4=×2×DH,
∴DH=4,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD=BC,AD∥BC,且DH⊥BC,
∴∠ADH=∠DHO=90°,且∠AOB=90°,
∴四邊形AOHD是矩形,
∴AO=DH,AD=OH,且AD=BC=BD,
∴OH=BD,
∵DB2=DH2+BH2,
∴DB2=(DB﹣2)2+16,
∴DB=5,
∴AD=BC=OH=5,
∴點D(5,4),
故答案為:(2,0),(5,4);
(2)∵OH=BD=BC=5,OB=2,
∴m=,n==7,
當0<t≤2時,如圖2,
∵S△BCD=BC×DH,
∴S△BCD=10
∵A'B'∥CD,
∴△BB'E∽△BCD,
∴=()=,
∴S=10×=t2,
當2<t≤5,如圖3,
∵OO'=t,
∴BO'=t﹣2,FO'=(t﹣2),
∵S=S△BB'E﹣S△BO'F=t2﹣×(t﹣2)2,
∴S=﹣t2+t﹣;
當5<t<7時,如圖4,
∵OO'=t,
∴O'C=7﹣t,O'N=2(7﹣t),
∵S=×O'C×O'N=×2(7﹣t)2,
∴S=t2﹣14t+49.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點E為BC的中點,將△ABE沿AE折疊,使點B落在矩形內(nèi)點F處,連接CF,則CF的長度為_____
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【題目】如圖,直線y=-x+b與雙曲線分別相交于點A,B,C,D,已知點A的坐標為(-1,4),且AB:CD=5:2,則m=_________.
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,E為邊AD上的點,點F在邊CD上,且CF=3FD,∠BEF=90°
(1)求證:△ABE∽△DEF;
(2)若AB=4,延長EF交BC的延長線于點G,求BG的長
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【題目】如圖,半圓D的直徑AB=4,線段OA=7,O為原點,點B在數(shù)軸的正半軸上運動,點B在數(shù)軸上所表示的數(shù)為m.
(1)當半圓D與數(shù)軸相切時,m= .
(2)半圓D與數(shù)軸有兩個公共點,設另一個公共點是C.
①直接寫出m的取值范圍是 .
②當BC=2時,求△AOB與半圓D的公共部分的面積.
(3)當△AOB的內(nèi)心、外心與某一個頂點在同一條直線上時,求tan∠AOB的值.
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【題目】如圖①,在矩形中,,對角線相交于點,動點由點出發(fā),沿向點運動.設點的運動路程為,的面積為,與的函數(shù)關系圖象如圖②所示,則邊的長為( ).
A. 3B. 4C. 5D. 6
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