Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線軸，且直線l與拋物線和y軸分別交于點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn).若點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1.

(1)線段AB的長(zhǎng)度等于________；

(2)點(diǎn)P為線段AB上方拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線交AB于點(diǎn)H，點(diǎn)F為y軸上一點(diǎn)，當(dāng)的面積最大時(shí)，求的最小值；

(3)在(2)的條件下，刪除拋物線在直線PH左側(cè)部分圖象并將右側(cè)部分圖象沿直線PH翻折，與拋物線在直線PH右側(cè)部分圖象組成新的函數(shù)M的圖象.現(xiàn)有平行于FH的直線，若直線與函數(shù)M的圖象有且只有2個(gè)交點(diǎn)，求t的取值范圍(請(qǐng)直接寫出t的取值范圍，無(wú)需解答過(guò)程).

Answer 1

【答案】(1)2 (2) (3) t的取值范圍為：t＜．

【解析】

（1）先求拋物線y=-x2+4x的對(duì)稱軸，由于已知點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用對(duì)稱性可求點(diǎn)B坐標(biāo)；從而得AB的長(zhǎng)度；
（2）先根據(jù)B和E坐標(biāo)得出BE的解析式，然后設(shè)與其平行的直線為y=x+b，過(guò)點(diǎn)H作y=-x的垂線，可求得HF和FO，從而得解；
（3）可根據(jù)頂點(diǎn)位置的變動(dòng)，得出拋物線y=-x2+4x右側(cè)部分圖象沿直線PH翻折后拋物線的解析式；由（2）FH直線解析式，平行于FH的直線l1：y=mx+t，其m值可求；令y=mx+t與翻折后拋物線相切，可求得t的臨界值，結(jié)合圖象可得最后答案．

解：（1）拋物線y＝﹣x2+4x的對(duì)稱軸為直線．

∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1．代入y＝﹣x2+4x得：y＝3，

∴A（1，3），由拋物線的對(duì)稱性得：點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，3）．

∴AB＝2．

故答案為：2．

（2）∵B（3，3），E（1，1），

∴直線BE解析式為y＝x，作l∥BE，且與拋物線相切，則可設(shè)l的解析式為：y＝x+b．根據(jù)該直線與拋物線相切，列一元二次方程，令其判別式為0，可求得b的值，從而得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而得點(diǎn)H坐標(biāo)及PH長(zhǎng)，

∴x+b＝﹣x2+4x，即x2﹣3x+b＝0，

∴△＝9﹣4b＝0，b＝，

∴x2﹣3x+＝0，

∴切點(diǎn)為：x＝，y＝，

∴PH＝﹣3＝

過(guò)點(diǎn)H作y＝﹣x的垂線，交y＝﹣x于點(diǎn)G，交y軸于點(diǎn)F，則GF＝FO，∠FGO＝∠OFG＝∠CFH＝∠CHF＝45°，

．

∴PH+HF+FO的最小值為：．

（3）在（2）的條件下，平行于FH的直線l1：y＝mx+t，若直線l1與函數(shù)M的圖象有且只有2個(gè)交點(diǎn)，

∵∠CFH＝45°，l1∥FH，

∴m＝1，y＝x+t，

∵拋物線y＝﹣x2+4x的頂點(diǎn)D為（2，4），點(diǎn)H為（，3）點(diǎn)P為（，），

∴拋物線y＝﹣x2+4x右側(cè)部分圖象沿直線PH翻折后拋物線頂點(diǎn)為（1，4），其解析式為y＝﹣x2+2x+3．

當(dāng)直線y＝x+t與拋物線y＝﹣x2+2x+3相切時(shí)，x+t＝﹣x2+2x+3，

∴x2﹣x+t﹣3＝0，△＝1﹣4（t﹣3）＝13﹣4t＝0

∴t＝；

∴t＜時(shí)直線l1與函數(shù)M的圖象有且只有2個(gè)交點(diǎn)．

∴t的取值范圍為：t＜．