Question

對于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），下列說法：
①若a+c=0，方程ax²+bx+c=0有兩個不等的實數(shù)根；
②若方程ax²+bx+c=0有兩個不等的實數(shù)根，則方程cx²+bx+a=0也一定有兩個不等的實數(shù)根；
③若c是方程ax²+bx+c=0的一個根，則一定有ac+b+1=0成立；
④若m是方程ax²+bx+c=0的一個根，則一定有b²-4ac=（2am+b）²成立，

其中正確的只有

1. A.
   ①②④
2. B.
   ②③
3. C.
   ③④
4. D.
   ①④

Answer 1

D
分析：①根據(jù)根的判別式即可作出判斷；
②方程ax²+bx+c=0有兩個不等的實數(shù)根，則△=b²-4ac＞0，當c=0時，cx²+bx+a=0不成立；
③若c是方程ax²+bx+c=0的一個根，則代入即可作出判斷；
④若m是方程ax²+bx+c=0的一個根，即方程有實根，判別式△≥0，結(jié)合m是方程的根，代入一定成立，即可作出判斷．
解答：①因為a+c=0，a≠0，所以①a、c異號，所以△=b²-4ac＞0，所以方程有兩個不等的實數(shù)根；
②當c=0時不成立；
③若c是方程ax²+bx+c=0的一個根，當c=0時，ac+b+1=0不一定成立；
④若m是方程ax²+bx+c=0的一個根，所以有am²+bm+c=0，即am²=-（bm+c），而（2am+b）²=4a²m²+4abm+b²=4a[-（bm+c）]+4abm+b²=-4abm-4ac+b²=b²-4ac．
所以①④成立．
故選D．
點評：本題是對根的判別式與一元二次方程的綜合考查，試題在求解的過程中可以利用方程解的定義以及恒等變形求解．