【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交于A(﹣1,0)、C(2,3)兩點,與y軸交于點N,其頂點為D.

(1)求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式;

(2)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點,求△APC的面積的最大值及此時點P的坐標(biāo);

(3)設(shè)點M(3,n),求使MN+MD取最小值時n的值.

【答案】(1)y﹣x2+2x+3,y=x+1;(2)P(,);(3)

【解析】

1)利用待定系數(shù)法,以及點A(﹣1,0)、C(2,3)即可求得二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式;

(2)過點PPQx軸交AC于點Q,交x軸于點H,設(shè)Pm,﹣m2+2m+3),,則點Qm,m+1),則可求得線段PQ=﹣(m2+,最后由圖示以及三角形的面積公式表示出APC 的面積,由二次函數(shù)最值的求法可知APC的面積的最大值;

(3)根據(jù)兩點之間線段最短過點N作與直線x=3的對稱點N,連接DN′,,當(dāng)M(3,n在直線DN上時,MN+MD的值最小.

(1)∵將點A和點C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得:

解得:b=2,c=3.

∴拋物線的解析式為y﹣x2+2x+3.

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b.

∵將點A和點C的坐標(biāo)代入得,解得k=1,b=1.

∴直線AC的解析式為y=x+1.

(2)如圖,

設(shè)點P(m,﹣m2+2m+3),

Q(m,m+1),

PQ=(﹣m2+2m+3)﹣(m+1)=﹣m2+m+2=﹣(m﹣2+,

SAPC=PQ×|xC﹣xA|

= [﹣(m﹣2+3=﹣(m﹣2+,

∴當(dāng)m=時,SAPC最大=,y=﹣m2+2m+3=,

P();

(3)如圖1所示,過點N作與直線x=3的對稱點N′,連接DN′,交直線x=3與點M.

∵當(dāng)x=0y3,

N(0,3).

∵點N與點N′關(guān)于x=3對稱,

N′(6,3).

y﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,

D(1,4).

設(shè)DN的解析式為y=kx+b.

將點N′與點D的坐標(biāo)代入得:,

解得:k=﹣,b=

∴直線DN′的解析式為y=﹣x+

當(dāng)x=3時,n=+=

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,之間的等量關(guān)系________

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