Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)C（3，0），直線a為過點(diǎn)D（0，﹣1）且平行于x軸的直線．
（1）直接寫出點(diǎn)B關(guān)于直線a對(duì)稱的點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）若P為直線a上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出△PBA周長(zhǎng)的最小值和此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若M為直線a上一動(dòng)點(diǎn)，且S△ABC=S△MAB ， 請(qǐng)求出M點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）（0，﹣4）
（2）解：∵B、E關(guān)于直線a對(duì)稱，

∴PB=PE，

∴△PBA周長(zhǎng)=AB+BP+PA

=AB+PE+PA

∵兩點(diǎn)之間線段最段，

∴△PBA周長(zhǎng)的最小值=AB+AE= ，

∴直線AE的解析式：y=﹣4x﹣4，

當(dāng)y=﹣1時(shí)，x= ，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)（ ，﹣1）

（3）解：設(shè)M（m，﹣1），

當(dāng)M在第四象限，

∵S△ABC=S△MAB，

∴點(diǎn)M在過C且平行于AB的直線上，

∵直線AB的解析式為：y=2x+2，

設(shè)直線CM的解析式為：y=2x+n，

∴0=2×3+n，

∴n=﹣6，

∴直線CM的解析式為：y=2x﹣6，

∴m= ，

∴M（ ，﹣1），

當(dāng)M在第三象限，

直線AB與直線a交于G（﹣ ，﹣1），

∴ ×（﹣ ﹣m）×（2+1）﹣ ×（﹣ ﹣m）×1= ×4×2，

∴m=﹣5.5，

∴M（﹣5.5，﹣1）．

【解析】解：（1）∵B（0，2），D（0，﹣1）， ∴BD=3，
∵直線a為過點(diǎn)D（0，﹣1）且平行于x軸的直線．
∴BD⊥直線a，
∴點(diǎn)B關(guān)于直線a對(duì)稱的點(diǎn)E的坐標(biāo)（0，﹣4）；
所以答案是：（0，﹣4）；

【考點(diǎn)精析】利用軸對(duì)稱-最短路線問題對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知已知起點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；與確定起點(diǎn)相反，已知終點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．